非アルキメデス絶対値の入った体の完全不連結性
まず$K$の開円板・閉円板・円について見ていきます。
$K$を非アルキメデス絶対値の定める距離位相が入った体とする。このとき開円板
$$
D^-(a,r):=\left\{x\in K\middle|d(a,x)< r\right\}
$$
は開かつ閉である。
非自明なのは閉部分集合であることのみである。そのためには$C:=K\backslash D^{-}(a,r)$が開部分集合であることを示せば良い。$y\in C$を任意にとる。ここで$D=D^-(y,r)$とおく。このとき$D':=D^-(a,r)\cap D\neq \varnothing$とし、$D'$の元$z$を一つとる。このとき
$$
r\leq d(a,y)\leq \max\{d(a,z),d(y,z)\}< r
$$
となり矛盾する。よって$C$は開集合である。
$K$を非アルキメデス絶対値の定める距離位相が入った体とする。このとき円
$$
\partial D(a,r):=\left\{x\in K\middle|d(a,x)=r\right\}
$$
は開かつ閉である。
非自明なのは開部分集合であることのみである。そこで$y\in S:=\partial D(a,r)$を取り、$D':=D^-(y,r)$と置く。このとき任意の$z\in D'$に対して
$$
d(a,z)\leq \max\{d(y,a),d(y,z)\}=r
$$
であることが従う。一方で
$$
r=d(y,a)\leq\max\{d(y,z),d(z,a)\}
$$
かつ$d(y,z)< r$であることから、$r\leq d(a,z)$が従う。以上から$d(a,z)=r$がわかる。よって$D'\subseteq S$が従う。よって$S$は開集合である。
$K$を非アルキメデス絶対値の定める距離位相が入った体とする。このとき閉円板
$$
D^+(a,r):=\left\{x\in K\middle|d(a,x)\leq r\right\}
$$
は開かつ閉である。
非自明なのは開部分集合であることのみである。$D^+(a,r)$は二つの開集合
$$
D^-(a,r)
$$
$$
\partial D(a,r)
$$
の和集合なので開集合である。
このことから$K$の位相について例えば次のことがわかります。
$K$は完全不連結である。つまり$K$の連結部分集合は一点集合に限る。
濃度$\geq2$の集合$A$を任意に取り、そのうちの相異なる二点$x,y$をとる。$r:=d(x,y)$としたとき、
$$
A=D^+\left(x,\frac{r}{2}\right)\sqcup \left(A\backslash D^+\left(x,\frac{r}{2}\right)\right)
$$
である。ここで$x\in D^+\left(x,\frac{r}{2}\right)$かつ$y\in \left(A\backslash D^+\left(x,\frac{r}{2}\right)\right)$であるのに加え、$D^+\left(x,\frac{r}{2}\right)$は$K$の開かつ閉部分集合であったから、これにより$A$の不連結性が従う。$A$は任意の濃度$\geq2$の集合であったから、$K$は完全不連結である。
