九点円の基礎と応用

三角形$ABC$の九点円を$\Omega$とし，$\Omega$の中心を$N$とする．このとき，$N$が$HO$の中点であることを示せ．
問題1の図

外接円を$\Omega $，垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$において，$A$から$BC$におろした垂線の足を$D$，$AC$の中点を$M$とし，半直線$MD$と$\Omega$の交点を$X$とするとき，$AH = XH$が成立した．$AC=24,XD=6$のとき，$AB$の長さの$2$乗を求めよ．
問題2の図

なぜ九点円の半径は$\frac{R}{2}$なのか，簡潔な説明を与えよ．

内心と外心をそれぞれ，$I,O$とする不等辺三角形$ABC$において，$\angle A$内の傍心を$I_A$とし同様に点$I_B,I_C$を定める．直線$AC$と$I_CB$の交点を$X$，直線$CB$と$I_BA$の交点を$Y$，直線$BA$と$I_AC$の交点を$Z$とする．$\angle AIO = 90^{\circ} $のとき，$XY = ZY$を示せ．

鋭角三角形$ABC$において，その外接円を$\Gamma$，九点円を$\omega$，外心を$O$，$A$から$BC$に下ろした垂線の足を$D$，$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$とする．また，$\Gamma$の$A$における接線と$\omega$の$D$における接線の交点を$S$，三角形$SAO$の外接円と$\Gamma$の交点を$T$とする．このとき，三角形$ADT$の外接円と$MN$は$\angle A$の二等分線上で交わることを示せ．

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする．このとき，三角形$AEF,BFD,CDE$のオイラー線は三角形$ABC$の九点円$\Omega$上で交わることを示せ．

外接円が$\Gamma$である三角形$ABC$において，$AB,AC$及び円$\Gamma$に接する円はただ一つ存在するのでそれを$A-$混線内接円と言い，これを$\Omega _A$とする．$\Gamma$と$\Omega _A$の接点を$T$とし，三角形$ABC$の内心を$I$，$A,B,C$に対する傍心をそれぞれ$I_A,I_B,I_C$とする．このとき，$T$について$I$と対称な点$T_I$は円$I_AI_BI_C$上にあることを示せ．

$x$を求めよ

$x$(青の面積)を求めよ

$x$を求めよ

$p+y=q+x$を示せ

ここまでに得た九点円の知識を利用して，定理8を用いずにフォイエルバッハの定理の証明を与えよ．

鋭角三角形$ABC$が円$\omega$に内接しており，その垂心を$H$，外心を$O$とする．$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$とし，半直線$MH,NH$と $\omega$の交点をそれぞれ$P,Q$とする．直線$MN$と直線$PQ$の交点を$R$とするとき，$OA ⊥ RA$を示せ．

四角形$APBQ$が円$\omega$に内接しており，$\angle P = \angle Q = 90^{\circ} $および$AP=AQ < BP$をみたしている．$PQ$上に点$X$を任意にとり，直線$AX$と$\omega$の交点のうち$A$でない方を$S$とする．$\omega$の弧$AQB$上の点$X$は$AX ⊥ XT$をみたし，弦$S,T$の中点を$M$とする．$X$が線分$PQ$上を任意に動くとき，$M$はある円上を動くことを示せ．