multiplicative type 代数群スキームは有限次Galois拡大上対角化可能

1

$k$を体, $k_s$をその分離閉包とし, 離散空間$X$は$G=\operatorname{Gal}(k_s/k)$が連続に作用するアーベル群とする.
群環$k_s[X]$の$G$不変部分$A$は部分$k$代数である.
自然な$k_s$代数準同型$\phi : A\otimes k_s \to k_s[X]$が同型であることを示す.

$X$の各$G$軌道$Y$は有限集合であり, $k_s[X]$の$k_s$部分空間$k_s[Y]$は$G$不変である.
$k_s[Y]^G$は$k$部分空間であって, Galois理論より, $(k_s[Y])^G \otimes k_s \to k_s[Y]$は$k_s$空間の同型となる.
一方, $k_s[X] = \bigoplus_Y k_s[Y]$より$A= \bigoplus_Y (k_s[Y])^G$であるから, $\phi$は同型
$$k_s[X] = \bigoplus_Y k_s[Y]\ \cong \bigoplus_Y (k_s[Y])^G \otimes k_s$$である.

2

$\mathcal{G}$は$k$上のaffine 代数群スキームとし, $A=k[\mathcal{G}]$とする.
$\mathcal{G}$がmultiplicative typeとすると, $\mathcal{G}$の指標群を$X$とすれば, $A\otimes k_s =k_s[X]$である.
$A$は有限生成$k$代数なので, $X$は有限生成アーベル群である.
$X$は連続$G$加群なので, ある有限次Galois拡大$L/k$があって, $H=\operatorname{Gal}(k_s/L)$は$X$に自明に作用する.
$(k_s[X])^H \otimes_L k_s \to k_s[X]$は同型であるが, $X \subset (k_s[X])^H$であることから, $L[X]=(k_s[X])^H$である.

$A=(k_s[X])^G$に注意すると$A\otimes L \subset (k_s[X])^H \subset k_s[X]$である.
したがって, $A \otimes L= (k_s[X])^H=L[X]$が分かる.

ゆえに, $\mathcal{G}_L$はdiagonalizableである.