多角形における2つ以上の無理数角の存在について

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辺の長さが全て有理数の多角形において，少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ．

多角形の角度（ラジアン）の無理性に関する自作問題です．
この問題，実はネイピア数$e$のとある性質に関係します．

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条件の多角形を$N$角形とする．多角形の頂点を反時計回りに$A_0,A_1,...,A_{N-1}$として，辺$A_k A_{k+1} ~(A_{N}:= A_0)$の長さを$a_k \in \mathbb{Q}$とする．さらに，$A_k$における内角を$\theta_k$とする．$N$角形の内角の和は，$(N-2)\pi$なので，少なくとも1つ以上の内角は無理数である．ここで，無理数である内角がただ1つだけであると仮定する．$\theta_0$が無理数と仮定しても一般性を失わない．よって，$\theta_1,\theta_2,...,\theta_{N-1} \in \mathbb{Q}$である．ここで，$A_0$が複素平面上の原点に，$A_1$が複素平面上の正の実軸上に来るように多角形を配置する．$\displaystyle \varphi_0 = 0, ~\varphi_k := \sum_{j=1}^k \theta_j \in \mathbb{Q} ~(k \geq 1)$とおくと，複素平面上のベクトルの和
$\overrightarrow{A_0 A_1} + \overrightarrow{A_1 A_2} + ...+\overrightarrow{A_{N-2} A_{N-1}} + \overrightarrow{A_{N-1} A_0} = 0$
から，
\begin{align*} 0 &= \sum_{k=0}^{N-1} a_k (\cos \big(k\pi - \varphi_k) + i\sin(k\pi - \varphi_k) \big)\\ &= \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{i(k\pi - \varphi_k)} = \sum_{k=0}^{N-1} (-1)^k a_k e^{-i\varphi_k} \end{align*}となるが，$\{-i \varphi_k \}_{k=0}^{N-1}$は相異なる代数的数のため，これは次のリンデマンの定理と矛盾する．

リンデマンの定理
$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$が相異なる代数的数であるとき，
$c_1 e^{\alpha_1} + c_2 e^{\alpha_2}+...+c_n e^{\alpha_n} = 0$を満たす代数的数の組$(c_1,c_2,...,c_n)$は$(0,0,...,0)$のみである．

この定理は$e$や$\pi$の超越性を証明できる強力な定理です．上の問題は特に$e^i$の超越性に関係します．

投稿日：2023年7月7日

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Mathお

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