多角形における2つ以上の無理数角の存在について

321

辺の長さが全て有理数の多角形において，少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ．

多角形の角度（ラジアン）の無理性に関する自作問題です．
この問題，実はネイピア数 $e$ のとある性質に関係します．

解答を表示

条件の多角形を

N

角形とする．多角形の頂点を反時計回りに

A_{0}, A_{1}, . . ., A_{N - 1}

として，辺

A_{k} A_{k + 1} (A_{N} := A_{0})

の長さを

a_{k} \in Q

とする．さらに，

A_{k}

における内角を

θ_{k}

とする．

N

角形の内角の和は，

(N - 2) π

なので，少なくとも1つ以上の内角は無理数である．ここで，無理数である内角がただ1つだけであると仮定する．

θ_{0}

が無理数と仮定しても一般性を失わない．よって，

θ_{1}, θ_{2}, . . ., θ_{N - 1} \in Q

である．ここで，

A_{0}

が複素平面上の原点に，

A_{1}

が複素平面上の正の実軸上に来るように多角形を配置する．

φ_{0} = 0, φ_{k} := \sum_{j = 1}^{k} θ_{j} \in Q (k \geq 1)

とおくと，複素平面上のベクトルの和

\vec{A_{0} A_{1}} + \vec{A_{1} A_{2}} + . . . + \vec{A_{N - 2} A_{N - 1}} + \vec{A_{N - 1} A_{0}} = 0

から，

\begin{aligned} 0 & = \sum_{k = 0}^{N - 1} a_{k} (\cos (k π - φ_{k}) + i \sin (k π - φ_{k})) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} a_{k} e^{i (k π - φ_{k})} = \sum_{k = 0}^{N - 1} (- 1)^{k} a_{k} e^{- i φ_{k}} \end{aligned}

となるが，

{- i φ_{k}}_{k = 0}^{N - 1}

は相異なる代数的数のため，これは次のリンデマンの定理と矛盾する．

リンデマンの定理
$α_{1}, α_{2}, . . ., α_{n}$ が相異なる代数的数であるとき，
$c_{1} e^{α_{1}} + c_{2} e^{α_{2}} + . . . + c_{n} e^{α_{n}} = 0$ を満たす代数的数の組 $(c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n})$ は $(0, 0, . . ., 0)$ のみである．