数学力皆無な自分が、剰余系について学んだ話。第1話(初投稿)
この記事はタイトルにもある通り数学力皆無な自分が書いているので多数の間違い(+勘違い)がある可能性が大きいです。指摘していただけると幸いです。
何故剰余系を学ぶことになったのか。
結論から言うと、数オリの入門書(？)的な立ち位置である「ゼロから分かる数学〜数論とその応用〜」に剰余系の話が書かれていたからです。
さらに、本格的な数学書を買うのがこれは初めてなので、この本に書かれていることしかわからないです。なので集合族とか恒等写像とか分からないです()
まず剰余系とは何か？
さて、余談(？)も程々にして本題に移りましょう。
私が「剰余系」というワードを見た時、「なんか難しそうだなー」と思っていました。
しかし、実際には「余り」に着目した集合を剰余系というらしいです。
まず剰余系を説明するための準備
合同式を定義しましょう。
$a,b,cを整数とする。このときa \equiv b \mod{c}をa合同bモッドcと読み、a-bはcの倍数であることを示す $
例 $7 \equiv 3 \pmod{4} $
$2^{17} \equiv 1 \pmod{17}$
確かに$7-3$は$4$の倍数だし$2^{17}-1$
は17の倍数ですよね！
...え？フェルマーの小定理？何ですかそれ？
合同式の性質は面倒くさいので割愛します。
その前に次の定理を証明しておきましょう。
任意の整数$a,b,cに対してa \equiv b \pmod{c}のとき、a/cの余りはbである$
$合同式の定義より任意の自然数をkとすると a-b=ck、aについて解いてa=ck+b。この形は割られる数=割る数 \times 商+余りと見なすことができる。よって上の定理は成り立つ$
あと、$a \equiv b \pmod{n}$は$a$を$n$で割った余り、$b$を$n$で割った余りが等しいことを表すということも証明したかったのですが、
なかなか証明の方法が思いつかなかったので、とりあえず、この性質は証明なしに用いようと思います。(よくない)
さて、ここで問題を数問出して第1話は終わろうと思います。
- $2^nを5で割った余りbを求めよ。$
- $n^mをn^{m-2}で割った余りを求めよ。$
解答
(1)$1回合同式で表してみると、2^n\equiv b \pmod{5}.定理1より、任意の自然数kを用いてb=2^n k +5と表すことができる。$
(2) (1)と同じ方針で解く。
$n^m \equiv r \pmod{n^(m-2)}$
任意の自然数$cを用いてr=n^m \cdot c+n^{m-2}$
…なんか悪問みたいな問題できたな。
それでは次の記事も読んでいただけると嬉しいです。
それでは次の記事で会いましょう。
