Dougall展開の超球関数への一般化
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で, Legendre関数のDougall展開
\begin{align}
P_{\nu}(x)&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{\nu+n+1}\right)P_n(x)
\end{align}
を示した. 今回はそれを超球関数
\begin{align}
C_{\nu}^{(a)}(x):=\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}
\end{align}
に一般化したいと思う.
\begin{align} C_{\nu}^{(a)}(x)&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+2a+\nu}\right)C_n^{(a)}(x) \end{align}
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で示した定理2において, $a\mapsto 2a$とすると
\begin{align}
&\F32{b,c,-N}{2a,b+c-N-2a}x\\
&=\frac{(1+2a-b,1+2a-c)_N}{(2a)_{N+1}(1+2a-b-c)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+2a)(2a,b,c,-N)_n}{n!(1+2a-b,1+2a-c,1+2a+N)_n}\F21{-n,2a+n}{2a}{x}
\end{align}
となる. ここで, $x^k$を$\displaystyle\frac{(2a)_k}{\left(a+\frac 12\right)_k}\left(\frac{1-x}2\right)^k$に移すと
\begin{align}
&\F32{b,c,-N}{a+\frac 12,b+c-N-2a}{\frac{1-x}2}\\
&=\frac{(1+2a-b,1+2a-c)_N}{(2a)_{N+1}(1+2a-b-c)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+2a)(2a,b,c,-N)_n}{n!(1+2a-b,1+2a-c,1+2a+N)_n}\F21{-n,2a+n}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}\\
&=\frac{(1+2a-b,1+2a-c)_N}{(2a)_{N+1}(1+2a-b-c)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(2n+2a)(b,c,-N)_n}{(1+2a-b,1+2a-c,1+2a+N)_n}C_n^{(a)}(x)\\
\end{align}
となる. ここで, $N\to\infty$として,
\begin{align}
\F21{b,c}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}&=\frac{\Gamma(2a)\Gamma(1+2a-b-c)}{\Gamma(1+2a-b)\Gamma(1+2a-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+2a)(b,c)_n}{(1+2a-b,1+2a-c)_n}C_n^{(a)}(x)
\end{align}
を得る. $b=-\nu,c=2a+\nu$とすると,
\begin{align}
\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}&=\frac{\Gamma(2a)}{\Gamma(1+2a+\nu)\Gamma(1-\nu)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+2a)(-\nu,2a+\nu)_n}{(1+2a-\nu,1-\nu)_n}C_n^{(a)}(x)\\
&=\frac{\Gamma(2a)}{\Gamma(2a+\nu)\Gamma(-\nu)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+2a)}{(n+2a+\nu)(n-\nu)}C_n^{(a)}(x)\\
&=\frac{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(2a+\nu)}\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+2a+\nu}\right)C_n^{(a)}(x)
\end{align}
となるから, 両辺を
\begin{align}
\frac{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(2a+\nu)}
\end{align}
で割って定理を得る.
このように, Dougall展開を超球多項式に拡張してもほとんど同じような形で成り立つことはかなり興味深いと思う. Legendre関数は対称性$P_{-\nu-1}(x)=P_{\nu}(x)$を満たしていたので標本化定理からDougall展開を得ることができたが, 超球多項式の場合は一般にそれを満たしていないので, 同じようには標本化定理からは得ることができないという違いがある.
Chebyshev関数
Chebyshev多項式の一般化であるChebyshev関数を以下のように定義する.
\begin{align}
T_{\nu}(x)&:=\F21{-\nu,\nu}{\frac 12}{\frac{1-x}2}\\
U_{\nu}(x)&:=(\nu+1)\F21{-\nu,\nu+2}{\frac 32}{\frac{1-x}2}
\end{align}
これらは
\begin{align}
T_{\nu}(x)&=\lim_{a\to 0}\frac{\nu}{2a}C_{\nu}^{(a)}(x)\\
U_{\nu}(x)&=C_{\nu}^{(1)}(x)
\end{align}
と超球関数で書けるので, 定理1の特別な場合として以下を得る.
\begin{align} T_{\nu}(x)&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\left(\frac 1{\nu}+\sum_{0< n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}+\frac 1{n+\nu}\right)T_n(x)\right)\\ U_{\nu}(x)&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+\nu+2}\right)U_n(x)\\ \end{align}
Chebyshev関数はそれぞれ,
\begin{align}
T_{\nu}(\cos\theta)&=\cos\nu\theta\\
U_{\nu}(\cos\theta)&=\frac{\sin(\nu+1)\theta}{\sin\theta}
\end{align}
を満たしているので, これを用いると系1は
\begin{align}
\cos\nu\theta&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\left(\frac 1{\nu}+\sum_{0< n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}+\frac 1{n+\nu}\right)\cos n\theta\right)=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^n\cos n\theta}{\nu-n}\qquad |\theta|<\pi\\
\sin\nu\theta&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+\nu}\right)\sin n\theta=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^n\sin n\theta}{\nu-n}\qquad |\theta|<\pi
\end{align}
とFourier級数展開の形で表すこともできる.
