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無限次元空間上の平行移動不変性を持つ自己共役なLaplace作用素の正当化

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原稿の紹介です。

https://www.researchgate.net/publication/370472897

前原稿によって、加算直積空間R上の自己共役なLaplace作用素が定義されている。その平行移動不変性は、前原稿において明示的には言及しなかった。そこで、本原稿では平行移動不変性を示す(もちろん、これは難しくない)。また、R上のLaplace作用素と呼称することのさらなる正当化として、{fk}kfkL2=1であるR上の非負値関数の列であるとき、「kfkL2<+」という(恐らく技術的な?)付加条件の下で、「ukを初期値問題dukdt=1uk,uk(0)=fkの解とすると、その無限テンソル積kuk(xk)(:=limn((k=1n1uk(xk)|uk(xk)|dxk)(k=nfk(xk)|fk(xk)|dxk)))は、R上のLaplace作用素が定めるSchrodinger方程式の解である」こと、及び、「ukを初期値問題dukdt=uk,uk(0)=fkの解とすると、その無限テンソル積は、R上のLaplace作用素が定める熱方程式の解である」ことを示す。

ところで、前原稿で「密度の平方根の(BornとHeisenbergによる量子力学的波動関数の確率解釈に触発された)少なくとも、解析学者にとっては極めて初等的な導入を与える。」と記載したが、BornとHeisenbergによる量子力学的波動関数の確率解釈に触発されたことの事情について明示的に言及はしなかった。この事情は、Ωを可測空間とするとき、Ω上の測度μ0<fL2(μ)<+である関数fに対して、状態ベクトルfの位置の測定に関する確率解釈はΩ上の確率測度|f|2fL2(μ)2dμであるが、この確率測度はΩ上の複素測度f|f|dμの全変動の規格化である(そこで、例えば、状態ベクトルをΩ上の複素測度として、Schrodinger方程式をその時間発展を定める方程式として考える)ということである。従って、例えば、ukL2(dxk)に対応する状態ベクトルはR上の複素測度uk(xk)|uk(xk)|dxkである。

投稿日:202353
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