順序位相=相対位相となる条件
書いてあるものが見つけらなかったので書きます(書き終わってから ここ に書いてあるのを見つけました)。
$(X, <)$を全順序集合とし、順序位相によって位相空間ともみなします. 区間の記号は全て$X$における区間を表すこととします.
部分順序集合$Y\subseteq X$の相対位相を$\mathcal{O}_1$、順序位相を$\mathcal{O}_2$とする. このとき、次は$\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$となるための必要十分条件.
- $(-\infty, x), (x, \infty)$がともに$Y$と交わるような任意の$x\in X\setminus Y$に対し、
$$ (-\infty, x)\cap Y\text{が最大元を持つ}\iff(x, \infty)\cap Y\text{が最小元を持つ} $$
$\mathcal{I}_1=\{(-\infty, x)\cap Y:x\in X\}\cup\{(x, \infty)\cap Y:x\in X\}$は$(Y, \mathcal{O}_1)$の準開基. $\mathcal{I}_2=\{(-\infty, y)\cap Y:y\in Y\}\cup\{(y, \infty)\cap Y:y\in Y\}$は$(Y, \mathcal{O}_2)$の準開基. $\mathcal{I}_2\subseteq \mathcal{I}_1$より$\mathcal{O}_2\subseteq \mathcal{O}_1$である. よって、
$$
\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2 \iff\mathcal{I}_1\subseteq \mathcal{O}_2\iff\forall x\in X\setminus Y, (-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y\in\mathcal{O}_2
$$
$(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y$のどちらかが空なときは必ず$(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y\in\mathcal{O}_2$となるので、結局$\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$は
- $(-\infty, x), (x, \infty)$がともに$Y$と交わるような任意の$x\in X\setminus Y$に対し、
$ (-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y\in\mathcal{O}_2 $
と同値である.
対称性より、あとは$(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y\neq\emptyset$となる$x\in X\setminus Y$に対し$$(x, \infty)\cap Y\in\mathcal{O}_2\iff (-\infty, x)\cap Y\text{が最大元を持つ}\lor (x, \infty)\cap Y\text{が最小元を持たない}$$
を示せばよい.
$\Leftarrow$を示す. $(-\infty, x)\cap Y$が最大元$y$を持つなら$(x, \infty)\cap Y=(y, \infty)\cap Y\in\mathcal{O}_2$であるし、$(x, \infty)\cap Y$が最小元を持たないなら$(x, \infty)\cap Y=\bigcup_{z\in(x, \infty)\cap Y}((z, \infty)\cap Y)\in\mathcal{O}_2$である.
$\Rightarrow$を示す. $(x, \infty)\cap Y$が$\mathcal{O}_2$の元でしかも最小元$y$を持つと仮定して$(-\infty, x)\cap Y$が最大元を持つことを見ればよい. $(x, \infty)\cap Y$は$(Y, \mathcal{O}_2)$において$y$の開近傍であることになるので、$y_1, y_2\in Y$が$y\in(y_1, y_2)\cap Y\subseteq(x, \infty)\cap Y$にとれる. この$y_1$は$(-\infty, x)\cap Y$の最大元になるほかない.
$Y\subseteq X$が$\forall y_1, y_2\in Y, [y_1, y_2]\subseteq Y$であるとき$Y$は$X$の凸部分集合であるというのでした.
$X$の凸部分集合$Y$では、$X$からの相対位相と順序位相が一致する.
区間は凸集合なので区間においては相対位相と順序位相が一致します.
- $(0, 1), [0, 1], (0, \infty)\subseteq \mathbb{R}$は区間なので相対位相と順序位相が一致する.
- $(-\sqrt2, \sqrt2)\cap \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}$は凸なので相対位相と順序位相が一致する.
$X$のコンパクト部分集合$Y$では、$X$からの相対位相と順序位相が一致する.
$x\in X\setminus Y$が$(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y\neq\emptyset$となっているとする. $(-\infty, x)\cap Y$が最大元を持たないなら$X$における$Y$の開被覆$\{(x, \infty)\}\cap\{(-\infty, y):y\in(-\infty, x)\cap Y\}$は有限部分被覆を持たないことになってしまい$Y$のコンパクト性に反する. したがって$(-\infty, x)\cap Y$は最大元を持ち、対称性より$(x, \infty)\cap Y$が最小元を持つこともいえるので定理1から結論がしたがう.
上に有界で非空な部分集合が常に上限を持つとき$X$は上限性質を持つというのでした. 上限性質を持つ$X$においては下に有界で非空な部分集合が常に下限を持つこともいえるのでした. 例えば$\mathbb{R}$や整列集合は上限性質を持ちます.
$X$が上限性質を持つなら、$X$の閉部分集合$Y$では$X$からの相対位相と順序位相が一致する.
$x\in X\setminus Y$が$(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y\neq\emptyset$となっているとする. $(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y$はともに非空で、それぞれ上界、下界を持っているので$(-\infty, x)\cap Y$の上限$y_1\in X$と$(x, \infty)\cap Y$の下限$y_2\in X$がとれ、$y_1\le x\le y_2$である. $Y$は$X$で閉なので$y_1, y_2\in Y$であり$y_1$は$(-\infty, x)\cap Y$の最大元、$y_2$は$(x, \infty)\cap Y$の最小元であるといえる. したがって定理1より結論がしたがう.
特に完備全順序集合の閉部分集合では相対位相と順序位相が一致します.
- $\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}[2n, 2n+1], \{0\}\cup\{2^n:n\in\mathbb{Z}\}\subseteq \mathbb{R}$などは上限性質を持つ全順序集合における閉集合なので相対位相と順序位相が一致する.
次の例のみclub集合に関する知識を仮定します.
$\gamma$を$\mathrm{cf}(\gamma)>\omega$となる極限順序数とし、$C_0\subseteq \gamma$をclub部分集合とするとき、
- $C\subseteq C_0$に対し、
$C$は$\gamma$の順序に関してclub$\iff C$は$C_0$の順序に関してclub. - $S\subseteq C_0$に対し、
$S$は$\gamma$の順序に関してstationary$\iff S$は$C_0$の順序に関してstationary.
$\gamma$が上限性質を持つので、系3より$C_0$において$\gamma$からの相対位相と順序位相は一致する.
- $\Rightarrow$は成り立つ. $\Leftarrow$を示す. $C\subseteq C_0$が$C_0$の順序でclubだとする. $C$は$\gamma$で非有界で、$C_0$の相対位相に関して閉. $C_0$が$\gamma$で閉なので$C$も$\gamma$で閉であり、$\gamma$のclub部分集合であるといえる.
- $S\subseteq C_0$とする. このとき
$S$は$\gamma$の順序でstationary
$\iff$ $\gamma$の任意のclub部分集合が$S$と交わる
$\iff$ $\gamma$の任意のclub部分集合$C$に対し、$C\cap C_0\cap S\neq \emptyset$.
$\{C\cap C_0:C\text{は}\gamma\text{のclub部分集合}\}=\{C\subseteq C_0:\gamma\text{のclub部分集合}\}$と合わせると、
$S$は$\gamma$の順序でstationary
$\iff$ $C\subseteq C_0$なる$\gamma$の任意のclub部分集合$C$に対し、$C\cap S\neq \emptyset$
さらに(1)と合わせると
$S$は$\gamma$の順序でstationary
$\iff$ $S$は$C_0$の順序でclubな任意の$C\subseteq C_0$と交わる.
$\iff$ $S$は$C_0$の順序でstationary.
$Y\subseteq X$で$x_1< x_2$なる任意の$x_1, x_2\in X$に対し$(x_1, x_2)\cap Y\neq \emptyset$なら、$Y$において$X$からの相対位相と順序位相は一致する.
$x\in X\setminus Y$が$(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y\neq\emptyset$となっているとする. $(-\infty, x)\cap Y, (x, \infty)\cap Y$はそれぞれ最大元、最小元を持ち得ない. したがって定理1より結論がしたがう.
- $\mathbb{Q}, \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$は系4の仮定を満たすので相対位相と順序位相が一致する.
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