3次元極座標のラプラシアンの計算

計算が大変なことで有名な3次元極座標のラプラシアンを計算します.

$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2}$, $\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial y^2}$, $\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial z^2}$を直接計算すると膨大な計算量になるので, 工夫して計算したいと思います.

復習: 2次元極座標のラプラシアン

まずは, 2次元極座標変換を2回繰り返す方法を説明します. そのために, 2次元極座標のラプラシアンを復習します. もうこの時点でしんどいです.

偏微分の連鎖律を用いて, $\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2}$, $\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial y^2}$を計算します. 連鎖律より,

\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x} &=& \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} \\ \frac{\partial}{\partial y} &=& \frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta} \end{eqnarray}

なので, まず$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x}$, $\displaystyle \frac{\partial \theta}{\partial x}$, $\displaystyle \frac{\partial r}{\partial y}$, $\displaystyle \frac{\partial \theta}{\partial y}$を計算します.

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$より, $\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r \ \cos \theta}{r} =\cos \theta$. 同様に, $\displaystyle \frac{\partial r}{\partial y} = \sin \theta$.

続いて, $\displaystyle \theta = \arctan \frac{y}{x}$なので, $\displaystyle \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{-y/x^2}{1 + (y/x)^2} = \frac{-y}{r^2} = \frac{-\sin \theta}{r}$, $\displaystyle \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{1/x}{1 + (y/x)^2} = \frac{x}{r^2} = \frac{\cos \theta}{r}$.

よって,

\begin{eqnarray} \ddel{x} &=& (\cos \theta \del{r} - \frac{\sin \theta}{r}\del{\theta})(\cos \theta \del{r} - \frac{\sin \theta}{r}\del{\theta}) \\ &=& \cos^2 \theta \ \ddel{r} - \cos \theta \ \sin \theta \ \del{r} (\frac{1}{r} \del{\theta}) - \frac{\sin \theta}{r} \del{\theta}(\cos \theta \ \del{r}) + \frac{\sin \theta}{r^2} \del{\theta}(\sin \theta \ \del{\theta}). \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \ddel{y} &=& (\sin \theta \del{r} + \frac{\cos \theta}{r}\del{\theta})(\sin \theta \del{r} + \frac{\cos \theta}{r}\del{\theta}) \\ &=& \sin^2 \theta \ \ddel{r} + \cos \theta \ \sin \theta \del{r}(\frac{1}{r} \del{\theta}) + \frac{\cos \theta}{r} \del{\theta}(\sin \theta \ \del{r}) + \frac{\cos \theta}{r^2} \del{\theta}(\cos \theta \ \del{\theta}). \end{eqnarray}

展開して整理すると,

\begin{eqnarray} \ddel{x} + \ddel{y} &=& \ddel{r} + \frac{1}{r}\del{r} + \frac{1}{r^2}\ddel{\theta} \\ &=& \frac{1}{r} \del{r}(r \del{r}) + \frac{1}{r^2} \ddel{\theta}. \ \square \end{eqnarray}

2次元極座標変換を2回適用する方法

極座標変換

\begin{eqnarray} x &=& r \ \sin \theta \ \cos \varphi \\ y &=& r \ \sin \theta \ \sin \varphi \\ z &=& r \ \cos \theta \end{eqnarray}

を, 変数$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ (, $r = \sqrt{\rho^2 + z^2}$) を導入して, 2つの座標変換

\begin{eqnarray} x &=& \rho \ \cos \varphi \\ y &=& \rho \ \sin \varphi \\ z &=& z \end{eqnarray}

および

\begin{eqnarray} \rho &=& r \ \sin \theta \\ z &=& r \ \cos \theta \end{eqnarray}

に分解することにより, 2次元の極座標変換に帰着させることができます.

外微分とホッジ作用素を組み合わせる方法

$M$を向き付けられた$n$次元リーマン多様体, $\omega$を体積要素とします. 馴染みがなければ, $M = \mathbb{R}^n$と考えても大丈夫です. $0 \le p \le n$に対して, $ M$の$p$次微分形式の空間を$\displaystyle \Omega^p(M) := \Gamma(\bigwedge^p T^* M)$と書きます. $T^*M$は$M$の余接ベクトル束, $\Gamma$は大域切断を取る操作を表します. このとき, 2つの写像

$$ d: \Omega^p(M) \rightarrow \Omega^{p+1}(M) $$

$$ *: \Omega^p(M) \rightarrow \Omega^{n-p}(M) $$

が定義でき, それぞれ外微分, ホッジ*(スター)作用素といいます. この節では, これらの厳密な定義には立ち入らず, 局所座標をとってこれらを具体的に計算していきます.

$(x_1, \cdots, x_n)$を$M$の点$x$における座標系とします. $M$の$p$次微分形式は, $dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}$と, $M$の$C^{\infty}$級関数$f_{i_1, \cdots, i_p}$により, $f_{i_1, \cdots, i_p} \ dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}$の形の元の和に書けます. 添字が煩雑なので, $I = (i_1, \cdots, i_p)$を多重指数として, $f_{i_1, \cdots, i_p} \ dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p} =: f_I \ dx_I$と書きます. よって, $p$次微分形式は, $\displaystyle \sum_{|I| = p} f_I \ dx_I$の形に書けます.

ウェッジ積$\wedge$は, 2つの項の入れ替えで$(-1)$倍になります. つまり, $I = (i_1, \cdots, i_k, \cdots, i_l, \cdots, i_p)$, $I' = (i_1, \cdots, i_l, \cdots, i_k, \cdots, i_p)$に対して, $dx_I = -dx_{I'}$となります. たとえば, $M = \mathbb{R}^2$なら, $dx \wedge dy = -dy \wedge dx$です. 一般に置換
$\begin{eqnarray} \sigma = \left( \begin{array}{cc} 1 & \cdots & p \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(p) \end{array} \right) \end{eqnarray}$
に対して, $dx_{i_{\sigma(1)}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{\sigma(p)}} = \mathrm{sgn}(\sigma) \ dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}$となります. とくに, $i_1, \cdots i_p$の中に同じ添字が2つ以上あれば, $dx_I = 0 \ (I = \{i_1, \cdots, i_p \})$です.

外微分$d: \Omega^p(M) \rightarrow \Omega^{p+1}(M)$は, $f_I \ dx_I$に対して$df_I \wedge dx_I$を対応させる写像を, 線形に拡張して得られます. ここで, $df$は$f$の全微分$\displaystyle df = \pdiff{f}{x_1} dx_1 + \cdots + \pdiff{f}{x_n} dx_n$です. たとえば, $M = \mathbb{R}^2$で, $\omega = f_x \ dx + f_y \ dy$とすると, $\displaystyle d\omega = (\pdiff{f_y}{x} - \pdiff{f_x}{y}) dx \wedge dy$となります.

上記の外微分$d$や, 全微分$df$の表示は座標系$(x_1, \cdots, x_n)$の取り方に依存していますが, 別の座標系$(y_1, \cdots, y_n)$を取っても, $d(f_I \ dy_I) = df_I \wedge dy_I$, $\displaystyle df_I = \pdiff{f_I}{y_1} dy_1 + \cdots + \pdiff{f_I}{y_n} dy_n$となります.

ホッジ作用素$*: \Omega^p(M) \rightarrow \Omega^{n-p}(M)$は次のように得られます. $M$の各点$x$の余接空間$T^*_xM$の正規直交基底$(e_1, \cdots, e_n)$で, $x$において$e_1 \wedge \cdots \wedge e_n = \omega$となっているものを取ります. 線形写像$\displaystyle *: \bigwedge^p T^*_x M \rightarrow \bigwedge^{n-p} T^*_x M$を以下のように定めます. 置換

$\begin{eqnarray} \sigma = \left( \begin{array}{cc} 1 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(n) \end{array} \right) \end{eqnarray}$

に対して,

$$ *(e_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge e_{\sigma(p)}) = \mathrm{sgn} (\sigma) \ e_{\sigma(p+1)} \wedge \cdots \wedge e_{\sigma(n)}. $$

この$\displaystyle *: \bigwedge^p T^*_x M \rightarrow \bigwedge^{n-p} T^*_x M$から, $*: \Omega^p(M) \rightarrow \Omega^{n-p}(M)$が定まります.

たとえば, $M = \mathbb{R}^3$とし, 直交座標系$(x, y, z)$を取ると, 1次微分形式$dx, dy, dz \in \Omega^1(M)$は各点の余接空間において正規直交基底になります. $\omega = dx \wedge dy \wedge dz$とすると,

$*1 = dx \wedge dy \wedge dz$
$*e_x = dy \wedge dz$
$*e_y = dz \wedge dx$
$*e_z = dx \wedge dy$
$*(dx \wedge dy) = dz$
$*(dy \wedge dz) = dx$
$*(dz \wedge dx) = dy$
$*(dx \wedge dy \wedge dz) = 1$

となります.

ベクトル解析の演算$\mathrm{grad}$, $\mathrm{rot}$, $\mathrm{div}$は, $d$と$*$を用いて表せます. ベクトル場$F: M \rightarrow \mathbb{R}^3$ ($F = (F_x, F_y, F_z)$)を$1$次微分形式$F_x \ dx + F_y \ dy + F_z \ dz$と同一視します. すると, $f \in C^{\infty}(M)$および$F = (F_x, F_y, F_z) \in C^{\infty}(M, \mathbb{R}^3)$に対して,

\begin{eqnarray} \mathrm{grad}f &=& df = \pdiff{f}{x} dx + \pdiff{f}{y} dy + \pdiff{f}{z} dz \\ \mathrm{rot} F &=& *dF = (\pdiff{F_z}{y} - \pdiff{F_y}{z}) dx + (\pdiff{F_x}{z} - \pdiff{F_z}{x}) dy + (\pdiff{F_y}{x} - \pdiff{F_x}{y}) dz \\ \mathrm{div} F &=& *d* = \pdiff{F_x}{x} + \pdiff{F_y}{y} + \pdiff{F_z}{z} \end{eqnarray}

となります. よって, ラプラシアン$\triangle$は,

$$ \triangle = \mathrm{div} \ \mathrm{grad} = *d*d $$

と表せます.

3次元極座標

\begin{eqnarray} x &=& r \ \sin \theta \ \cos \varphi \\ y &=& r \ \sin \theta \ \sin \varphi \\ z &=& r \ \cos \varphi \end{eqnarray}

に関して, $1$次微分形式

$dr$, $r \ d\theta$, $r \sin \theta \ d\varphi$

は$\mathbb{R}^3$の各点の余接空間において正規直交基底になっており, $\displaystyle \omega = dr \wedge (r \ d\theta) \wedge (r \ \sin \theta \ d\varphi)$です. したがって,

$*1 = \omega$
$*dr = r^2 \sin \theta \ d\theta \wedge d\varphi$
$*d\theta = \sin \theta \ d\varphi \wedge dr$
$\displaystyle *d\varphi = \frac{1}{\sin \theta} dr \wedge d\theta$
$*(dr \wedge d\theta) = \sin \theta \ d\varphi$
$\displaystyle *(d\theta \wedge d\varphi) = \frac{1}{r^2 \sin \theta} dr$
$\displaystyle *(d\varphi \wedge dr) = \frac{1}{\sin \theta} d\theta$
$\displaystyle *(dr \wedge d\theta \wedge d\varphi) = \frac{1}{r^2 \sin \theta}$.

以上を用いて, ラプラシアンを計算します.

計量テンソルを用いる方法

$(M, g)$をリーマン多様体とします. $(\partial_0, \cdots, \partial_n)$を接ベクトル束のフレームとします. つまり, $M$の各点において, $(\partial_0, \cdots, \partial_n)$は接空間の基底になっています. $M$におけるラプラシアン$\triangle$は

$$ \triangle = \sum_{i,j} \frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}g}}\partial_i(\sqrt{\mathrm{det}g} \ g^{ij} \partial_j) $$

と書けます. ここで$g^{ij}$は, $G$を計量テンソル$g$の基底$(\partial_0, \cdots, \partial_n)$に関する表現行列とすると, $G^{-1}$の$(i, j)$成分です.

$M = \mathbb{R}^3$とします. 3次元極座標系

\begin{eqnarray} x &=& r \ \sin \theta \ \cos \varphi \\ y &=& r \ \sin \theta \ \sin \varphi \\ z &=& r \ \cos \varphi \end{eqnarray}

において, $\displaystyle (\partial_1, \partial_2, \partial_3) = (\del{r}, \del{\theta}, \del{\varphi})$に対する$g$の表現行列は,

\begin{eqnarray} G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{pmatrix}. \end{eqnarray}

よって,

\begin{eqnarray} G^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \end{pmatrix} \end{eqnarray}

です. ここから直ちにラプラシアンを計算できます.