東大数理院試過去問解答例(2021B01)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2013B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

わたしはGalois理論は好きなのですが、実際に取り扱うのは非常に苦手で、例えばGalois拡大でないものをGalois拡大として取り扱ったり、Galois拡大のGalois拡大はGalois拡大だと平気で口走ったり、そもそも群論ができていなかったりとだいたいどこかで致命的な間違いを犯します。なのでこの解答も答えが正しくなかったり、そもそも途中の議論に致命的な間違いがあったりする可能性が高いので、ご覧になる際は注意深く議論を追ってください。もし誤り等があればコメントで指摘していただけるとうれしいです。

2021B01

$4$ 変数関数体 $K = C (X, Y, Z, W)$ 及びその対称式からなる部分体を $F$ とする。また $L = K (\sqrt{X})$ とおき、 $L$ の $F$ 上のGalois閉包を $M$ とおく。
(1) 拡大次数 $[M : K]$ を求め、 $M = K (x)$ なる $x \in M$ を一つ挙げなさい。
(2) $M / K$ の中間体の個数を求めなさい。
(3) $M / K$ の中間体のうち $F$ 上Galoisであるような $E$ を全て求め、各 $E$ について $E = K (y)$ なる $y \in E$ を求めなさい。

まず $M$ は $F$ 上の
$(T^{2} - X) (T^{2} - Y) (T^{2} - Z) (T^{2} - W)$
の最小分解体である。よって $M = K (\sqrt{X}, \sqrt{Y}, \sqrt{Z}, \sqrt{W})$ であるから $[M : K] = 16$ である。また $s = \sqrt{X} + \sqrt{Y} + \sqrt{Z} + \sqrt{W} \in M$ とおくと、これは $Gal (M / K)$ の単位元以外の任意の元で別の値に移るから $M = K (\sqrt{X} + \sqrt{Y} + \sqrt{Z} + \sqrt{W})$ である。
まず
$Gal (M / K) = (Z / 2 Z)^{4}$
であるから、その部分群の個数を求めれば良い。まず位数 $1$ 及び $16$ の群はそれぞれ $1$ つのみである。次に位数 $2$ の部分群は生成元の取り方で決まるから $15$ 個である。次に写像
$\begin{aligned} {位数 2 の部分群} & \to {位数 8 の部分群} \\ H & \mapsto {g | \forall h \in H h g = 0} \end{aligned}$
(ここで $h g$ は $(Z / 2 Z)^{4}$ の標準的な内積とする)を考えたとき、これは全単射であるから位数 $8$ の群も15個。最後に位数 $4$ の部分群は、 $\frac{_{15} C_{2}}{3} = 35$ 個であるよって合計で $1 + 15 + 35 + 15 + 1 = 67$ 個である。
まず $M / F$ のGalois群 $G = Gal (M / F)$ は $\sqrt{X}, \sqrt{Y}, \sqrt{Z}, \sqrt{W}$ の互換を含むから $S_{4}$ を部分群として持つ。よって
$G ≃ (Z / 2 Z)^{4} ⋊ S_{4}$
である。この中間体のうち $K$ を含み、 $F$ 上Galoisであるようなものは、 $(Z / 2 Z)^{4}$ の部分群で $S_{4}$ の作用で安定であるようなものに対応している。よってこのような部分群を考えれば良い。まず位数 $2$ の部分群でこのようなものは
$τ = (\begin{array}{ccc} \sqrt{X} & \mapsto & - \sqrt{X} \\ \sqrt{Y} & \mapsto & - \sqrt{Y} \\ \sqrt{Z} & \mapsto & - \sqrt{Z} \\ \sqrt{W} & \mapsto & - \sqrt{W} \end{array})$
で生成されるものに限られる。次に位数 $4$ の部分群で $S_{4}$ の作用で安定であるものは、 $(Z / 2 Z)^{4}$ の $τ$ 及び $0$ 以外の任意の元は $S_{4}$ による軌道を $4$ つ以上持つことを考慮することによって、存在しないことがわかる。次に位数 $8$ の部分群で $S$ の作用で安定であるものは位数 $2$ のものと(2)で行った議論の下対応しているから
$(\begin{array}{ccc} \sqrt{X} & \mapsto & - \sqrt{X} \\ \sqrt{Y} & \mapsto & - \sqrt{Y} \\ \sqrt{Z} & \mapsto & \sqrt{Z} \\ \sqrt{W} & \mapsto & \sqrt{W} \end{array})$
$(\begin{array}{ccc} \sqrt{X} & \mapsto & \sqrt{X} \\ \sqrt{Y} & \mapsto & - \sqrt{Y} \\ \sqrt{Z} & \mapsto & - \sqrt{Z} \\ \sqrt{W} & \mapsto & \sqrt{W} \end{array})$
$(\begin{array}{ccc} \sqrt{X} & \mapsto & \sqrt{X} \\ \sqrt{Y} & \mapsto & \sqrt{Y} \\ \sqrt{Z} & \mapsto & - \sqrt{Z} \\ \sqrt{W} & \mapsto & - \sqrt{W} \end{array})$
で生成されるものの $1$ つのみである。よって条件を満たすものは $2$ つあるが、前者に対応する部分体 $E_{1}$ は $K$ 上の $8$ 次拡大であり、これは $t = \sqrt{X Y} + \sqrt{Y Z} + \sqrt{Z W}$ を含んでいるが、これを固定する $Gal (M / K)$ の元は自明元と $τ$ のみであるから $E_{1} = K (\sqrt{X Y} + \sqrt{Y Z} + \sqrt{Z W})$ である。一方後者に対応する体 $E_{2}$ は $K$ 上の $2$ 次拡大であり、 $E_{2} = K (\sqrt{X Y Z W})$ である。

投稿日：2023年10月20日

更新日：2024年8月23日

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