Al-Salam-Carlitz多項式のqモーメントによる表示
Al-Salam-Carlitz多項式は
\begin{align}
\varphi_n^{(a)}(x|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^k(a;q)_k
\end{align}
によって定義される. $q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とする. 今回は, この多項式が以下のような$q$モーメントによる表示を持つことを示す.
\begin{align} \varphi_n^{(a)}(x|q)&=\frac{(a,ax;q)_{\infty}}{(q,x,q/x;q)_{\infty}}\int_x^1\frac{(tq/x,tq;q)_{\infty}}{(at;q)_{\infty}}t^n\,d_qt \end{align}
$D_q$を変数$a$に関する作用素
\begin{align}
D_qf(a):=\frac{f(a)-f(aq)}{a}
\end{align}
1つ補題を用意する.
\begin{align} D_q^n(f(a)g(a))&=\sum_{k=0}^nq^{k(k-n)}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}D_q^k(f(a))D_q^{n-k}(g(aq^k)) \end{align}
$n$に関する帰納法によって示される.
$n$に関する帰納法により
\begin{align}
D_q^n\frac{(at;q)_{\infty}}{(as;q)_{\infty}}&=s^n\frac{(t/s;q)_n}{(t;q)_n}\frac{(tx;q)_{\infty}}{(sx;q)_{\infty}}
\end{align}
であり, 特に$t=0$とすると,
\begin{align}
D_q^n\frac{1}{(as;q)_{\infty}}&=s^n\frac{1}{(sx;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
Andrews-Askey積分
\begin{align}
\int_c^d\frac{(tq/c,tq/d;q)_{\infty}}{(at,bt;q)_{\infty}}\,d_qt&=d\frac{(q,dq/c,c/d,abcd;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
の両辺に$D_q^n$を作用させて補題1を用いると
\begin{align}
\int_c^d\frac{(tq/c,tq/d;q)_{\infty}}{(at,bt;q)_{\infty}}t^n\,d_qt&=d\frac{(q,dq/c,c/d;q)_{\infty}}{(bc,bd;q)_{\infty}}D_q^n\frac{(abcd;q)_{\infty}}{(ac;q)_{\infty}}\cdot\frac{1}{(ad;q)_{\infty}}\\
&=d\frac{(q,dq/c,c/d;q)_{\infty}}{(bc,bd;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^nq^{k(k-n)}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}D_q^k\frac{(abcd;q)_{\infty}}{(ac;q)_{\infty}}\cdot D_q^{n-k}\frac{1}{(adq^k;q)_{\infty}}\\
&=d\frac{(q,dq/c,c/d,abcd;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^nq^{k(k-n)}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}c^k\frac{(bd,ad;q)_n}{(abcd;q)_n}(dq^k)^{n-k}\\
&=d\frac{(q,dq/c,c/d,abcd;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}c^kd^{n-k}\frac{(bd,ad;q)_n}{(abcd;q)_n}
\end{align}
となる. ここで, $d=1, c=x, b=0$とすると
\begin{align}
\int_x^1\frac{(tq/x,tq;q)_{\infty}}{(at;q)_{\infty}}t^n\,d_qt&=\frac{(q,q/x,x;q)_{\infty}}{(a,ax;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^k(a;q)_k\\
&=\frac{(q,q/x,x;q)_{\infty}}{(a,ax;q)_{\infty}}\varphi_n^{(a)}(x|q)
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
証明の途中で得た等式
\begin{align}
\int_c^d\frac{(tq/c,tq/d;q)_{\infty}}{(at,bt;q)_{\infty}}t^n\,d_qt&=d\frac{(q,dq/c,c/d,abcd;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}c^kd^{n-k}\frac{(bd,ad;q)_n}{(abcd;q)_n}
\end{align}
は定理1より一般的なので, 他の応用も考えられるかもしれない.
