Furstenberg 位相と素数の無限性

$\mathbb{Z}$にFurstenberg位相を入れて考える。素数全体の集合を$\mathbb{P}$とすると、
\begin{equation} \mathbb{Z}\setminus\{1,-1\}=\bigcup_{p\in\mathbb{P}}p\mathbb{Z} \end{equation}
である。ここで、$p\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\setminus\bigcup_{i=1}^{p-1}(i+p\mathbb{Z})$より$p\mathbb{Z}$は閉集合である。よって、素数が有限個であると仮定すると$\bigcup_{p\in\mathbb{P}}p\mathbb{Z}$は閉集合であり、$\{1,-1\}$は開集合である。しかし、$1$を含み$\{1,-1\}$に含まれる$\mathcal{I}$の元$a+b\mathbb{Z}$は存在せず、$\{1,-1\}$は開集合ではなく、矛盾。よって、素数は無限個存在する。

$\mathcal{I}$の元は定義より開であり、$p\mathbb{Z}$が閉集合であることと同様に閉であることが示せる。

1. $a,\,b$を異なる整数とし、$k$を$|a-b|$より大きい整数とする。このとき、$a+k\mathbb{Z}\in\mathcal{I}$は開かつ閉であり、$a\in a+k\mathbb{Z},\ b\notin a+k\mathbb{Z}$より、$a,\,b$は同じ連結成分に属さない。よって、$\mathbb{Z}$は完全不連結である
2. $\mathcal{I}$は$\mathbb{Z}$の可算な開基であり、$\mathbb{Z}$は第二可算である。
3. $C\subset\mathbb{Z}$を閉集合とし、$x$を$C$に属さない整数とする。このとき、$\mathbb{Z}\setminus C$は開集合なのである$I\in\mathcal{I}$が存在して$x\in I\subset \mathbb{Z}\setminus C$となる。また、$I$は閉集合でもあるので$\mathbb{Z}\setminus I$は開集合で、$C$と$x$は互いに素な開集合$\mathbb{Z}\setminus I$と$I$によって分離される。よって、$\mathbb{Z}$は正則である。
4. Urysohnの距離化定理より、$\mathbb{Z}$は第二可算かつ正則なので距離化可能である。
5. $\mathbb{Z}$は距離化可能なので正規である。

まず、$\mathcal{T}(d)$における開集合は$\mathcal{T}$における開集合であることを示す。$U\in\mathcal{T}(d)$と$x\in U$を任意に取る。このとき、ある$\varepsilon>0$が存在して、$d(x,y)<\varepsilon\Rightarrow y\in U$である。ここで、$\frac{1}{r}<\varepsilon$なる$r\in\mathbb{N}$をとると、任意の$k\in\mathbb{Z}$について$d(x,x+kr!)<\frac{1}{r}<\varepsilon$より$x+kr!\in U$で、$x+r!\mathbb{Z}\subset U$で$U$は$\mathcal{T}$における開集合。
次に、$\mathcal{T}$における開集合は$\mathcal{T}(d)$における開集合であることを示す。$V\subset\mathcal{T}$と$x\in V$を任意に取る。このとき、ある$b\in\mathbb{N}$が存在し、$x+b\mathbb{Z}\subset V$である。よって、$d(x,y)<\frac{1}{b}\Rightarrow y\in V$で、$V$は$\mathcal{T}(d)$における開集合である。