圏論補1：随伴
今回は，adjoint functorについてまとめる．
以下，$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏とし，必要なら小圏とする．
関手$F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$があるとする．$F$が$G$のleft adjointである，または$G$が$F$のright adjointであるとは，任意の$X\in\mathcal{C}$，$Y\in\mathcal{D}$について自然な全単射
\begin{equation*}
\Phi_{X,Y}:{\rm Hom}_{\mathcal{D}}(F(X),Y)
\cong
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,G(Y))
\end{equation*}
があることをいう．
このとき$F\dashv G$と書く．
ここで「自然」とは，$X$と$Y$を動かしたとき，この全単射が射の合成と両立するという意味である．つまり，$u:X'\to X,v:Y\to Y'$と任意の射$f:F(X)\to Y$に対して
\begin{equation*}
\Phi_{X',Y'}(v\circ f\circ F(u))=G(v)\circ \Phi_{X,Y}(f)\circ u
\end{equation*}
となるときをいう．(${\rm Hom}_\mathcal{C}(F(-),-)\cong {\rm Hom}_\mathcal{D}(-,G(-)):\mathcal{C}^{\rm op}\times \mathcal{D}\to {\rm Set}$が自然同型である．)
adjointでは左と右の向きが重要である．$F\dashv G$のとき，$F$はleft adjoint，$G$はright adjointである．一般には$G\dashv F$ではない．
$F\dashv G$とする．adjunctionのunitとは，自然変換
\begin{equation*}
\eta:{\rm id}_{\mathcal{C}}\to G\circ F
\end{equation*}
であって，各$X\in\mathcal{C}$における成分$\eta_X:X\to G(F(X))$が，$\eta_X=\Phi_{X,F(X)}({\rm id}_{F(X)})$となるときをいう．
adjunctionのcounitとは，自然変換
\begin{equation*}
\varepsilon:F\circ G\to{\rm id}_{\mathcal{D}}
\end{equation*}
であって，各$Y\in\mathcal{D}$における成分$\varepsilon_Y:F(G(Y))\to Y$が，$\varepsilon_Y={\Phi_{G(Y),Y}}^{-1}({\rm id}_{G(Y)})$となるときをいう．
unitとcounitを使うと，adjunctionの全単射はかなり具体的に書ける．射$f:F(X)\to Y$に対応する射$\Phi_{X,Y}(f):X\to G(Y)$は
\begin{equation*}
X\xrightarrow{\eta_X}G(F(X))\xrightarrow{G(f)}G(Y)
\end{equation*}
であり，射$g:X\to G(Y)$に対応する射${\Phi_{X,Y}}^{-1}(g):F(X)\to Y$は
\begin{equation*}
F(X)\xrightarrow{F(g)}F(G(Y))\xrightarrow{\varepsilon_Y}Y
\end{equation*}
である．
$F\dashv G$とする．このときunit $\eta$とcounit $\varepsilon$は次の三角恒等式を満たす．
\begin{equation*}
\varepsilon_{F(X)}\circ F(\eta_X)={\rm id}_{F(X)},\qquad
G(\varepsilon_Y)\circ\eta_{G(Y)}={\rm id}_{G(Y)}.
\end{equation*}
図式で書くと，これは次の二つの三角形が可換であるということである．
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\eta_X)} \ar[dr]_-{{\rm id}_{F(X)}} &
F(G(F(X))) \ar[d]^-{\varepsilon_{F(X)}}\\
& F(X)
}
\qquad
\xymatrix{
G(Y) \ar[r]^-{\eta_{G(Y)}} \ar[dr]_-{{\rm id}_{G(Y)}} &
G(F(G(Y))) \ar[d]^-{G(\varepsilon_Y)}\\
& G(Y)
}
\end{equation*}
${\rm id}_{F(X)}$に対応する射が$\eta_X$であるから，$\eta_X$に逆向きに対応する射は
\begin{equation*}
F(X)\xrightarrow{F(\eta_X)}F(G(F(X)))\xrightarrow{\varepsilon_{F(X)}}F(X)
\end{equation*}
である．しかし対応は互いに逆な全単射なので，これはもとの${\rm id}_{F(X)}$に等しい．
もう一つも同様である．${\rm id}_{G(Y)}$に対応する射が$\varepsilon_Y$であるから，$\varepsilon_Y$に逆向きに対応する射は
\begin{equation*}
G(Y)\xrightarrow{\eta_{G(Y)}}G(F(G(Y)))\xrightarrow{G(\varepsilon_Y)}G(Y)
\end{equation*}
であり，これは${\rm id}_{G(Y)}$に等しい．
逆に，関手$F,G$と自然変換$\eta:{\rm id}_{\mathcal{C}}\to G\circ F$，$\varepsilon:F\circ G\to{\rm id}_{\mathcal{D}}$があり，三角恒等式を満たすなら，これらはadjunction $F\dashv G$を定める．
実際，$f:F(X)\to Y$を$G(f)\circ\eta_X:X\to G(Y)$へ送り，$g:X\to G(Y)$を$\varepsilon_Y\circ F(g):F(X)\to Y$へ送れば，三角恒等式により互いに逆な対応になる．
$F\dashv G$とする．対象$X\in\mathcal{C}$について，unit $\eta_X:X\to G(F(X))$は次の普遍性をもつ．
任意の$Y\in\mathcal{D}$と任意の射$\beta:X\to G(Y)$に対して，ただ一つの射$f:F(X)\to Y$が存在して
\begin{equation*}
\beta=G(f)\circ\eta_X
\end{equation*}
となる．
図式では次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
X \ar[r]^-{\eta_X} \ar[dr]_-{\beta} &
G(F(X)) \ar[d]^-{G(f)}\\
& G(Y)
}
\end{equation*}
$A$を可換環とする．自由$A$加群を作る関手
\begin{equation*}
A^{(-)}:{\rm Set}\to{\rm Mod}_A
\end{equation*}
は，忘却関手$U:{\rm Mod}_A\to{\rm Set}$のleft adjointである．すなわち，任意の集合$S$と$A$加群$M$について自然な全単射
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(A^{(S)},M)
\cong
{\rm Hom}_{\rm Set}(S,U(M))
\end{equation*}
がある．
$A^{(S)}$を，$S$を基底にもつ自由$A$加群とする．$A$線形写像$\varphi:A^{(S)}\to M$は，各基底元$e_s$の行き先$\varphi(e_s)\in M$で一意に決まる．したがって$\varphi$を与えることは，写像$S\to U(M)$を与えることと同じである．
この対応は$S$の写像と$A$加群準同型$M\to N$に関して自然であるから，$A^{(-)}\dashv U$である．
このadjunctionのunitは，集合$S$の元$s$を自由加群の基底元$e_s$へ送る写像
\begin{equation*}
S\longrightarrow U(A^{(S)})
\end{equation*}
である．counitは，$A$加群$M$に対して
\begin{equation*}
A^{(U(M))}\longrightarrow M
\end{equation*}
を，$M$の元を形式的な基底として作った自由加群から，実際の$M$へ評価する写像である．
$A$を可換環とし，$N$を$A$加群とする．関手$-\otimes_A N:{\rm Mod}_A\to{\rm Mod}_A$は，関手${\rm Hom}_A(N,-):{\rm Mod}_A\to{\rm Mod}_A$のleft adjointである．すなわち，任意の$A$加群$M,P$について自然な全単射
\begin{equation*}
{\rm Hom}_A(M\otimes_A N,P)
\cong
{\rm Hom}_A(M,{\rm Hom}_A(N,P))
\end{equation*}
がある．
$A$線形写像$\varphi:M\otimes_A N\to P$を与えることは，$A$双線形写像$M\times N\to P$を与えることと同じである．一方，$A$線形写像$\psi:M\to{\rm Hom}_A(N,P)$を与えることも，$m\in M$と$n\in N$に対して$\psi(m)(n)\in P$を対応させる$A$双線形写像$M\times N\to P$を与えることと同じである．
したがって，両辺は同じ双線形写像の集合を表しており，自然に全単射である．
$\mathcal{C}$がbinary productをもつとする．対角関手
\begin{equation*}
\Delta:\mathcal{C}\to\mathcal{C}\times\mathcal{C},\qquad X\mapsto(X,X)
\end{equation*}
は，productを取る関手
\begin{equation*}
\Pi:\mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{C},\qquad (A,B)\mapsto A\times B
\end{equation*}
のleft adjointである．すなわち$\Delta\dashv\Pi$である．
任意の$X,A,B\in\mathcal{C}$について
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}\times\mathcal{C}}((X,X),(A,B))
=
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,A)\times{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,B)
\end{equation*}
である．一方，productの普遍性より
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,A\times B)
\cong
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,A)\times{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,B)
\end{equation*}
である．よって
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}\times\mathcal{C}}(\Delta X,(A,B))
\cong
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,\Pi(A,B))
\end{equation*}
となり，$\Delta\dashv\Pi$である．
双対的に，$\mathcal{C}$がbinary coproductをもつなら，coproductを取る関手$\amalg:\mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{C}$は対角関手$\Delta$のleft adjointである．つまり$\amalg\dashv\Delta$である．
より一般に，$\mathcal{C}$が$\mathcal{I}$型のcolimitをもつなら，${\rm colim}:{\rm Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})\to\mathcal{C}$は対角関手$\Delta:\mathcal{C}\to{\rm Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$のleft adjointである．また，$\mathcal{C}$が$\mathcal{I}$型のlimitをもつなら，$\lim:{\rm Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})\to\mathcal{C}$は対角関手のright adjointである．
$F\dashv G$であるとする．このとき$F$は存在するcolimitを保つ．
双対的に，$G$は存在するlimitを保つ．
$M:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$を図式とし，$L={\rm colim}_{\mathcal{I}}M$が存在するとする．任意の$Y\in\mathcal{D}$について，adjunctionとcolimitの普遍性から
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{D}}(F(L),Y)
\cong
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(L,G(Y))
\cong
\lim_{i\in\mathcal{I}^{\rm op}}{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(M(i),G(Y))
\end{equation*}
である．さらにもう一度adjunctionを使うと
\begin{equation*}
\lim_{i\in\mathcal{I}^{\rm op}}{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(M(i),G(Y))
\cong
\lim_{i\in\mathcal{I}^{\rm op}}{\rm Hom}_{\mathcal{D}}(F(M(i)),Y)
\end{equation*}
である．右辺は，$F\circ M$から$Y$へのcocone全体の集合である．したがって$F(L)$は$F\circ M$のcolimitの普遍性を満たす．よって
\begin{equation*}
F({\rm colim}_{\mathcal{I}}M)\cong{\rm colim}_{\mathcal{I}}(F\circ M)
\end{equation*}
である．
limitについては，矢印を逆にした同じ議論で示される．
この命題は非常に重要である．left adjointはcolimitを保ち，right adjointはlimitを保つ．
たとえば自由加群関手$A^{(-)}:{\rm Set}\to{\rm Mod}_A$はleft adjointなのでcoproductやcoequalizerを保つ．一方，忘却関手$U:{\rm Mod}_A\to{\rm Set}$はright adjointなのでproductやequalizerを保つ．
