Chan-Chan-Liu, Rogersによる3F2の変換公式
以下のような等式が知られている.
$|u|$が十分小さいとき,
\begin{align}
\F32{\frac 12,\frac 13,\frac 23}{1,1}{\frac{108u^2}{(1-4u)^3}}&=(1-4u)\sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}
\end{align}
が成り立つ.
これはRogersの2009年の論文で示されたもので, 本質的にChan-Chan-Liuの2004年の論文で得られているものであるとRogersの論文に書かれている. 今回はこの等式に直接的な証明を与えようと思う.
$u\mapsto \frac u4$として,
\begin{align}
\frac 1{1-u}\F32{\frac 12,\frac 13,\frac 23}{1,1}{\frac{27u^2}{4(1-u)^3}}&=\sum_{0\leq n}\left(\frac u4\right)^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}
\end{align}
を示せばよい. 左辺は
\begin{align}
&\frac 1{1-u}\F32{\frac 12,\frac 13,\frac 23}{1,1}{\frac{27u^2}{4(1-u)^3}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_k(3k)!}{4^kk!^4}u^{2k}(1-u)^{-3k-1}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_k(3k)!}{4^kk!^4}u^{2k}\sum_{0\leq j}\frac{(3k+1)_j}{j!}u^j\\
&=\sum_{0\leq j,k}\frac{\left(\frac 12\right)_k(3k+j)!}{4^kk!^4j!}u^{2k+j}\\
&=\sum_{0\leq n}u^n\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_k(n+k)!}{4^kk!^4(n-2k)!}\qquad j\mapsto n-2k\\
&=\sum_{0\leq n}u^n\F43{\frac 12,n+1,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1,1}1\\
\end{align}
となる. 一方右辺の$u^n$の係数は
\begin{align}
&4^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k^2}{k!^2}\frac{\left(\frac 12\right)_k}{k!}\frac{\left(\frac 12\right)_{n-k}}{(n-k)!}\\
&=\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\F43{-n,-n,-n,\frac 12}{1,1,\frac 12-n}1
\end{align}
となる. ここで, Whippleによるnearly-poised${}_4F_3$の変換公式(
前の記事
の定理2)において, $a\mapsto -n$とすると
\begin{align}
\F43{-n,b,c,d}{1-n-b,1-n-c,w}1&=\frac{(w-d)_n}{(w)_n}\F54{1-n-b-c,1-n-w,d,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1-n-b,1-n-c,\frac{1-n+d-w}2,\frac{2-n+d-w}2}1
\end{align}
となる. ここで, $b=c=-n, d=\frac 12,w=\frac 12-n$とすると,
\begin{align}
\F43{-n,-n,-n,\frac 12}{1,1,\frac 12-n}1&=\frac{n!}{\left(\frac 12\right)_n}\F43{n+1,\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1,1}1
\end{align}
となるから, 両辺の$u^n$の係数が等しいことが分かり, 定理が示される.
Rogersの2009年の論文においては, さらに以下のような${}_3F_2$の変換公式も示されている.
$|u|$が十分小さいとき
\begin{align}
\F32{\frac 12,\frac 14,\frac 34}{1,1}{\frac{256u}{9(1+3u)^4}}&=\frac{1+3u}{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u}{9(1+u)^2}\right)^n\binom{2n}n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k
\end{align}
が成り立つ.
この左辺は$v=3u$として
\begin{align}
&\frac 1{1+v}\F32{\frac 12,\frac 14,\frac 34}{1,1}{\frac{256v}{27(1+v)^4}}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(4k)!}{27^kk!^4}v^k(1+v)^{-4k-1}\\
&=\sum_{0\leq j,k}\frac{(4k+j)!}{27^kk!^4j!}(-1)^jv^{j+k}\\
&=\sum_{0\leq n}(-v)^n\sum_{0\leq k}(-1)^k\frac{(n+3k)!}{27^kk!^4(n-k)!}\\
&=\sum_{0\leq n}(-v)^n\F43{\frac{n+1}3,\frac{n+2}3,\frac{n+3}3,-n}{1,1,1}1
\end{align}
と係数を${}_4F_3$で書くことができる. 一方, 右辺は
\begin{align}
&\frac{1}{1+u}\sum_{0\leq n}\left(\frac{u}{9(1+u)^2}\right)^n\binom{2n}n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\\
&=\sum_{0\leq n}u^{n}(1+u)^{-2n-1}\frac{(2n)!}{9^nn!^2}\F32{-n,-n,\frac 12}{1,1}4\\
&=\sum_{0\leq n,k}(-1)^ku^{n+k}\frac{(2n+k)!}{9^nn!^2k!}\F32{-n,-n,\frac 12}{1,1}4\\
&=\sum_{0\leq k}(-u)^k\sum_{0\leq n}(-1)^{n}\frac{(n+k)!}{9^nn!^2(k-n)!}\F32{-n,-n,\frac 12}{1,1}4\\
&=\sum_{0\leq k}(-u)^k\sum_{0\leq n}\frac{(-k,k+1)_n}{9^nn!^2}\F32{-n,-n,\frac 12}{1,1}4
\end{align}
つまり, 変数を置き換えて定理2は
\begin{align}
3^n\F43{\frac{n+1}3,\frac{n+2}3,\frac{n+3}3,-n}{1,1,1}1&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n,n+1)_k}{9^kk!^2}\F32{-k,-k,\frac 12}{1,1}4
\end{align}
と書き換えられることが分かる. しかし, 左辺のように${}_3F_2$の中に$4$が入っているようなものはかなり特殊であり, 右辺のような二重和に対してこのような変換公式が存在することは驚くべきことのように思える.
