マクローリン展開を離散から連続へ2(公式まとめ・ご紹介編)

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おはよう

さあ、フォロワー様からいくつか特殊なケースをいただきましたので紹介させていただきます。
以下、前回の記事の定義1の積分に展開することを単に第一種積分展開とします。
第二種も作るつもりでいるので、第一種で。
あと、第一種積分展開では何も言わなくても $0 < x < 1$ を条件とします。

積分展開係数と級数表示

$f (e^{- x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{x^{n + 1}}$
ただし、 $c^{(n)} (0)$ は $f$ の積分展開係数 $c (s)$ の $s = 0$ における $n$ 次導関数で、 $c (s)$ が $s ≧ 0$ でマクローリン展開可能なものである。

以下証明では、前回の記事で導出した公式を用いています。

$f (t)$ が $0 < t < 1$ で定義されており、父関数 $f$ が第一種積分展開可能とする。 $f$ の積分展開係数を $c (s)$ とする。
$f (t) = \int_{0}^{\infty} c (s) t^{s} d s$
ここで、 $c (s)$ がマクローリン展開可能であるとして展開すると、
$c (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{n!} s^{n}$
よって(積分と極限が交換できるので)、
$f (t) = \int_{0}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{n!} s^{n}) t^{s} d s = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{n!} \int_{0}^{\infty} s^{n} t^{s} d s = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{n!} \cdot \frac{n!}{(\ln \frac{1}{t})^{n + 1}}$
$∴ f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{(\ln \frac{1}{t})^{n + 1}}$
特に $t = e^{- x} (x > 0)$ のとき、
$f (e^{- x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{x^{n + 1}}$

すごい。この公式を見つけてくださったノメル様に感謝。
この公式を用いた計算も視野に入れていきます。

積分展開係数と畳み込み

$f$ の積分展開係数を $A$ 、 $g$ の積分展開係数を $B$ としたとき、
$f (x) g (x) = \int_{0}^{\infty} (A * B) (u) x^{u} d u$
ただし、 $(A * B) (u)$ は関数 $A, B$ の畳み込みを表す。

Tsumarrrrrri !! $f$ と $g$ の積の積分展開係数がそれぞれの関数の積分展開係数の畳み込み!! 神!!

$f (x) = \int_{0}^{\infty} A (s) x^{s} d s, g (x) = \int_{0}^{\infty} B (t) x^{t} d t$ とする。
$f (x) g (x) = (\int_{0}^{\infty} A (s) x^{s} d s) (\int_{0}^{\infty} B (t) x^{t} d t) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} A (s) B (t) x^{s + t} d s d t$
$s + t = u$ とおくと、 $d s = d u, u : t \to \infty$ より、
$f (x) g (x) = \int_{0}^{\infty} \int_{t}^{\infty} A (u - t) B (t) x^{u} d u d t$
積分の順序交換を行うと、
$\int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{u} A (u - t) B (t) d t) x^{u} d u = \int_{0}^{\infty} (A * B) (u) x^{u} d u$

きれいですね。公式を見つけてくださったTyLite様に感謝。
生かせるところでめちゃくちゃ力を発揮しそう。

第二種をつくろう

通常ディリクレ級数みたいな形になります(します)。

$x > 1$ に対し、
$f (x) = \int_{0}^{\infty} C (s) x^{- s} d s$
を $f (x)$ の第二種積分展開と定め、係数 $C (s)$ を積分展開係数、それに対する関数 $f (x)$ を父関数と定める。

範囲広げてディリクレ級数っぽくしただけです。
呼び名を増やすのが悪い癖になりつつあるので、積分展開以外はそのままで。( $c$ と $C$ が安定してないのは許してっ)

公式まとめ

見つけた・教えていただいた公式ぶっぱぁ。証明掲載済み含め、証明は割愛します。一部特殊なケースのみ、 $x$ の範囲を示しています。第一種は $0 < x < 1$ 、第二種は $x > 1$ で基本固定しています。

1.積分展開とラプラス変換の関係式
$\int_{0}^{\infty} c (t) x^{t} d t = L [c] (\ln x) (0 < x < 1)$
$\int_{0}^{\infty} C (t) x^{- t} d t = L [C] (\ln x) (x > 1)$
2.積分展開係数が多項式関数の関係式
$\frac{Γ (a + 1)}{(\ln \frac{1}{x})^{a + 1}} = \int_{0}^{\infty} s^{a} x^{s} d s (a > - 1)$
$\frac{Γ (a + 1)}{(\ln x)^{a + 1}} = \int_{0}^{\infty} s^{a} x^{- s} d s (a > - 1)$
3.積分展開係数が指数関数の関係式
$\frac{1}{\ln \frac{a}{x}} = \int_{0}^{\infty} a^{- s} x^{s} d s (a > x)$
$\frac{1}{\ln \frac{x}{a}} = \int_{0}^{\infty} a^{s} x^{- s} d s (a < x)$
$\frac{1}{\ln (a x)} = \int_{0}^{\infty} a^{- s} x^{- s} d s (a x > 1)$
4. $1 + x + x^{2} + \dots$ のデルタ関数を用いた積分展開による表現
$\frac{1}{1 - x} = \int_{0}^{\infty} (\sum_{n = 0}^{\infty} δ (s - n)) x^{s} d s (0 < x < 1)$
5.関数の積の畳み込みを用いた積分展開
$f (x) g (x) = \int_{0}^{\infty} (a * b) (u) x^{u} d u (f (x) = \int_{0}^{\infty} a (s) x^{s} d s, g (x) = \int_{0}^{\infty} b (t) x^{t} d t)$
$f (x) g (x) = \int_{0}^{\infty} (A * B) (u) x^{- u} d u (f (x) = \int_{0}^{\infty} A (s) x^{- s} d s, g (x) = \int_{0}^{\infty} B (t) x^{- t} d t)$
6.特殊な場合の積分展開係数を用いたディリクレ級数展開
$f (e^{- x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{x^{n + 1}} (f (t) = \int_{0}^{\infty} c (s) t^{s} d s)$
$f (e^{x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c^{(n)} (0)}{x^{n + 1}} (f (t) = \int_{0}^{\infty} C (s) t^{- s} d s)$

他の公式が見つかり次第貼っていきます。

conclusion

ラプラス変換の存在のために独自性が失われつつあります...
が、新定義の確立も視野に入れ、最初の記事の最初の式
$\int_{0}^{\infty} \frac{f^{(t)} (0)}{Γ (t + 1)} x^{t} d t$
の式変形についても積分展開の逆?操作を実行したいので、次が出来上がるまでしばしお待ち。ちなみに $t$ 次導関数の定義を頑張ってなんとかすればこの式は(多分)処理できます。では。

投稿日：5月17日

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