Vをn次元複素ベクトル空間,fをVの可逆な線形変換とする.(1) ⋀2Vの線形変換gで,すべてのv,w∈Vにたいしてg(v∧w)=f(v)∧f(w)を満たすものが,ただ一つ存在することを示せ.(2) n≥3のとき,fが対角化可能であることとgが対角化可能であることが同値であることを示せ.(3) fのジョルダン標準形が(110⋯00011⋯00⋱⋱⋱⋱000⋯11000⋯01)であるとき,(g−I)m=0となる最小の自然数mを求めよ.ただしIは⋀2Vの恒等変換を表す.
φ:V2→⋀2Vをφ(v,w)=v∧wで定義する.任意の双線形交代写像Ψ:V2→Wに対して,次の可換図式を可換にする線形写像fがただ一つ存在する.V2φΨ⋀2VfW
V,Wをベクトル空間とする.このとき,⋀2(V⊕W)≅(⋀2V)⊕(V⊗W)⊕(⋀2W)が成り立つ.
線形写像Ψ:⋀2(V⊕W)→(⋀2V)⊕(V⊗W)⊕(⋀2W)を,Ψ((v1+wq)∧(v2+w2))=(v1∧v2,v1⊗w2−v2⊗w1,w1∧w2)で定義する.また,線形写像Φ:(⋀2V)⊕(V⊗W)⊕(⋀2W)→⋀2(V⊕W)をΦ(v1∧v2,v⊗w,w1∧w2)=v1∧v2+v∧w+w1∧w2で定義する.そうすれば,Ψ∘Φ=id,Φ∘Ψ=idが計算により分かり,これにより同型が従う.ちなみに,線形写像であることは外積や直和の普遍性を用いて示すことができる.
一般に,⋀n(V⊕W)≅⨁l+m=n(⋀lV)⊗(⋀mW)が成り立ちます.
(3)このジョルダン標準形になるVの基底をv1,⋯,vnとすると,gの表現行列は,先ほど考えたようになる.これは対角成分が1で,対角成分の一つ上のところに0でない成分が存在する行列である.よってg−IはrC2乗して初めて0となる.
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