組み合わせ論と母関数１：べき乗和、基本対称式、完全斉次式

べき乗和、基本対称式、完全斉次式

文字の集合$S=a,b,c,d,e,..$に対し、べき乗和、基本対称式、完全斉次式を以下のように定義します。これから述べることは$S$の要素数が有限のときも無限のときも成り立ちます。

$s_k$の項数

文字の数が$n$個の場合、
$s_1$の項数は$n$
$s_2$の項数は
$$(n-1)+(n-2)+..+1=\frac{n(n-1)}{2}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}$$
$s_3$の項数は
$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})}+{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2})}+..+1={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})}$$
$s_k$の項数は$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$個です。これは定義からも分かります。

$h_k$の項数

$h_1$の項数は$n$
$h_2$の項数は
$$n+(n-1)+..+1=\frac{n(n+1)}{2}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})}$$
$h_3$の項数は
$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})}+{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}+..+1={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})}$$
$h_k$の項数は$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$個です。これは重複組合せの係数で
$$\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\right)={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})}$$
とも書きます。これは以下のような考察で分かります。$n$個の文字に$k-1$個の数字を混ぜ、そこから$k$個取り出します。文字はアルファベット順に並べ、しきいの有無により重複を表します。数字が取り出されたら、その番号のしきいを抜きます。
例えば、(a,b,c,d,e)が取り出された場合、(a|b|c|d|e)というイメージになります。(1,a,b,c,d)の場合、1番のしきいが抜かれ、(aa|b|c|d)となり$a^{2}bcd$を表します。この方法で$h_k$の項を過不足なく作れるので、$h_k$の項数は$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$となります。

母関数

$s_k$の項数は$a,b,c,..$を全て$1$にしたときの$z^k$の係数なので、$(1+z{)}^k$の$z^k$の係数、すなわち$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ になります。

$h_k$の項数は$(1-z{)}^{-n}$の$z^k$の係数なので、一般二項定理より$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$となります。
$$\begin{array}{rcl}(1-z{)}^{-n}& =& 1-(-n)z+\frac{(-n)(-n-1)}{2}{z}^2-\frac{(-n)(-n-1)(-n-2)}{6}+..\\ & =& 1+nz+\frac{n(n+1)}{2}{z}^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{6}{z}^3+..\end{array}$$

ニュートンの恒等式

$$\begin{array}{r}R=(1+az)(1+bz)(1+cz)..\end{array}$$
の対数微分より

$$\begin{array}{r}\frac{zdR}{Rdz}=\frac{az}{1+az}+\frac{bz}{1+bz}+\frac{cz}{1+cz}+..=Q\end{array}$$
また
$$\begin{array}{r}\frac{zdS}{Sdz}=\frac{az}{1-az}+\frac{bz}{1-bz}+\frac{cz}{1-cz}+..=-P\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{r}P=p_{1}z+p_2{z}^2+p_3{z}^3+..=\frac{s_{1}z-2s_2{z}^2+3s_3{z}^3-..}{1-s_{1}z+s_2{z}^2-s_3{z}^3+..}\\ Q=p_{1}z-p_2{z}^2+p_3{z}^3-..=\frac{s_{1}z+2s_2{z}^2+3s_3{z}^3+..}{1+s_{1}z+s_2{z}^2+s_3{z}^3+..}\end{array}$$
$Q$の式について係数比較します。どちらの式を使っても同じ結果になります。
$$\begin{array}{rclrclrclrcl}& z& & z^2& & z^3& & z^4& & z^5& & ..\\ & s_1& & 2s_2& & 3s_3& & 4s_4& & 5s_5& & ..\\ =& p_1& & -p_2& & p_3& & -p_4& & p_5& & ..\\ & & & s_1{p}_1& & -s_1{p}_2& & s_1{p}_3& & -s_1{p}_4& & ..\\ & & & & & s_2{p}_1& & -s_2{p}_2& & s_2{p}_3& & ..\\ & & & & & & & s_3{p}_1& & -s_3{p}_2& & ..\\ & & & & & & & & & s_4{p}_1& & ..\end{array}$$
これより以下のニュートンの恒等式を得ます。

指数表現

$\frac{zdR}{Rdz}=Q$より$\ln R=\int \frac{Qdz}{z}$
$$\int \frac{Qdz}{z}=p_{1}z-p_2{z}^2/2+p_3{z}^3/3-..$$
より
$$\ln (1+s_{1}z+s_2{z}^2+..)=e^{p_{1}z-p_2{z}^2/2+p_3{z}^3/3-..}$$
$$\ln (1-s_{1}z+s_2{z}^2-..)=e^{-p_{1}z-p_2{z}^2/2-p_3{z}^3/3-..}$$

完全斉次式と基本対象式の関係

$V=1/S,T=1/R$より
$$\begin{array}{r}1=(1+s_{1}z+s_2{z}^2+..)(1-h_{1}z+h_2{z}^2-..)\\ 1=(1-s_{1}z+s_2{z}^2-..)(1+h_{1}z+h_2{z}^2+..)\end{array}$$
係数比較より以下の関係式が得られます。

完全斉次式とべき乗和の関係

$V=1/S,T=1/R$を微分し
$$\begin{array}{r}dS/S=-dV/V\\ dR/R=-dT/T\end{array}$$
$P=-\frac{zdS}{Sdz},Q=\frac{zdR}{Rdz}$より
$$\begin{array}{r}P=\frac{zdV}{Vdz}\\ Q=-\frac{zdT}{Tdz}\end{array}$$
これより
$$\begin{array}{r}P=p_{1}z+p_2{z}^2+p_3{z}^3+..=\frac{h_{1}z+2h_2{z}^2+3h_3{z}^3+..}{1+h_{1}z+h_2{z}^2+h_3{z}^3+..}\\ Q=p_{1}z-p_2{z}^2+p_3{z}^3-..=\frac{h_{1}z-2h_2{z}^2+3h_3{z}^3-..}{1-h_{1}z+h_2{z}^2-h_3{z}^3+..}\end{array}$$
係数比較より以下の式を得ます。

指数表現

$TR=1,SV=1$より
$$\begin{array}{r}\ln (1+s_{1}z+s_2{z}^2+..)=-\ln (1-h_{1}z+h_2{z}^2-..)\\ \ln (1-s_{1}z+s_2{z}^2-..)=-\ln (1+h_{1}z+h_2{z}^2+..)\end{array}$$
また
$$\begin{array}{rcl}1-h_{1}z+h_2{z}^2+..& =& e^{-p_{1}z+p_2{z}^2/2-p_3/z^3/3+..}\\ 1+h_{1}z+h_2{z}^2+..& =& e^{p_{1}z+p_2{z}^2/2+p_3{z}^3/3+..}\end{array}$$

その他の関係式

$$\begin{array}{rcl}1+s_{1}z+s_2{z}^2+..& =& R\\ 1-s_{1}z+s_2{z}^2-..& =& S\\ 1-h_{1}z+h_2{z}^2-..& =& 1/R\\ 1+h_{1}z+h_2{z}^2+..& =& 1/S\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rcl}R& =& \frac{R-1}{1-1/R}=\frac{s_{1}z+s_2{z}^2+s_3{z}^3+..}{h_{1}z-h_2{z}^2+h_3{z}^3-..}\\ S& =& \frac{S-1}{1-1/S}=\frac{s_{1}z-s_2{z}^2+s_3{z}^3-..}{h_{1}z+h_2{z}^2+h_3{z}^3+..}\end{array}$$
また
$$\begin{array}{rcl}\frac{R+S}{2}& =& 1+s_2{z}^2+s_4{z}^4+s_6{z}^6+..\\ \frac{R-S}{2}& =& s_{1}z+s_3{z}^3+s_5{z}^5+..\\ \frac{R+S}{2RS}& =& 1+h_2{z}^2+h_4{z}^4+h_6{z}^6+..\\ \frac{R-S}{2RS}& =& h_{1}z+h_3{z}^3+h_5{z}^5+..\end{array}$$
また$P=-\frac{zdS}{Sdz},Q=\frac{zdR}{Rdz},P=\frac{zdV}{Vdz},Q=-\frac{zdT}{Tdz},V=1/S,T=1/R$より
$$\begin{array}{rcl}PS& =& s_{1}z-2s_2{z}^2+3s_3{z}^3-..\\ QR& =& s_{1}z+2s_2{z}^2+3s_3{z}^3+..\\ P/S& =& h_{1}z+2h_2{z}^2+3h_3{z}^3+..\\ Q/R& =& h_{1}z-2h_2{z}^2+3h_3{z}^3-..\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{rcl}S& =& \frac{h_{1}z-2h_2{z}^2+3h_3{z}^3-..}{p_{1}z+p_2{z}^2+p_3{z}^3+..}\\ & =& \frac{p_{1}z+p_2{z}^2+p_3{z}^3+..}{h_{1}z+2h_2{z}^2+3h_3{z}^3+..}\\ R& =& \frac{h_{1}z+2h_2{z}^2+3h_3{z}^3+..}{p_{1}z-p_2{z}^2+p_3{z}^3-..}\\ & =& \frac{p_{1}z-p_2{z}^2+p_3{z}^3-..}{h_{1}z-2h_2{z}^2+3h_3{z}^3-..}\end{array}$$
これから$R$を何通りもの方法で表すことができます。$z$を$-z$で置き換えると$S$についての式になります。

応用

$a,b,c,..$として$q,q^2,q^3..$を使うと、自然数の分割関数の母関数が得られます。また素数の$-n$乗を使い、$z=1$とするとオイラー積
$$V=\prod _p\frac{1}{1-p^{-n}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{-n}$$
が得られます。