環の非零元に逆元が存在する場合、非零元の全体の集合が群となることの証明

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自明な環でない単位的環 $R$ の 0 でない元に乗法逆元が存在する場合、 $R$ の 0 でない元全体の集合が乗法群をなすことを証明する。

特に $R$ が可換であるとき、$R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が可換群をなすことを証明する。

問題の定式化

$R$ を自明な環、つまり $\lbrace 0 \rbrace$ でない単位的環とする。$x \in R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が乗法逆元を持つとき、$R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が乗法に関して群となることを示せ。

特に $R$ が可換であるとき、$R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が乗法に関して可換群となることを示せ。

問題の言い換え

これは、$R$ に関して乗法演算が定義されるとき、$x \in R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が逆元を持つという条件をひとつだけ課すと、$R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ についてもこの乗法演算が閉じていて、かつ、結合則、単位元の存在を満たすということである。

1. 演算が閉じていることを示す

まず $R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が乗法に関して閉じていることを示す。つまり、

$$ x \neq 0 \,\land\, y \neq 0 \,\Rightarrow\, xy \neq 0 $$

を示す。

まず、$x \neq 0 \,\land\, y \neq 0 \,\land\, xy = 0$ と仮定する。このとき、$x$ 及び $y$ は逆元を持つので、$xy = 0$ の両辺に左から $x^{-1}$ を、右から $y^{-1}$ を掛けると、

$$ x^{-1} \cdot (xy) \cdot y^{-1} = x^{-1} \cdot 0 \cdot y^{-1} $$

ここで、$0 \cdot a = (0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a$ より $0 \cdot a = 0$ であり、同様に $a \cdot 0 = 0$ であり、さらに結合律が成立することを考慮すると、

$$ 1 = 0 $$

これは矛盾である。従って、仮定の否定である

$$ \lnot (x \neq 0 \,\land\, y \neq 0 ) \,\lor\, xy \neq 0 $$

が成立する。これは示そうとしていた論理式に他ならない。以上より、$R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ が乗法に関して閉じていることを示せた。

2. 結合則を示す

このとき、乗法は環の定義より結合則を満たす。

3. 単位元の存在を示す

仮定より $ 0 \neq 1 $ であるから、$ 1 \in R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ であり、これは単位元として成立している。

4. 乗法逆元の存在を示す

$x \neq 0$ のとき、$xy = yx = 1$ となる $y$ が存在し、$y \neq 0$ を満たすことを示す。

$x \in R \setminus \lbrace 0 \rbrace$ の $R$ における乗法逆元を $y'$ とおくと、$xy' = y'x = 1$ である。このとき $y' = 0$ と仮定すると $xy' = y'x = 0$ となり矛盾する。従って $y' \neq 0$ である。これは $y$ の値として適当である。

以上より、乗法逆元が存在する。