Hermite関数のLaplace型積分表示
Hermite多項式の一般化であるHermite関数は以下のように定義される. (通常のHermite多項式に$e^{-\frac{x^2}2}$の定数倍を掛けたものも一般的に同じ名前で呼ばれているので注意.)
\begin{align}
H_{\nu}(z)&:=2^{\nu}\sqrt{\pi}\left(\frac 1{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)}\F11{-\frac{\nu}2}{\frac 12}{z^2}-\frac{2z}{\Gamma\left(-\frac{\nu}2\right)}\F11{\frac{1-\nu}2}{\frac 32}{z^2}\right)
\end{align}
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でHermite多項式のLaplace型積分表示を示した.
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でGegenbauer関数に対してLaplace型積分表示を与えたが, 今回はHermite関数に対してもLaplace型積分表示を与える.
$0<\Re(x)$に対し
\begin{align}
H_{\nu}(x)&=\frac{2^\nu}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(x+it)^{\nu}e^{-t^2}\,dt
\end{align}
が成り立つ.
$-\infty$から$\infty$への積分路を虚部が負の領域を通って, $|t|>|x|$となるように変形したものを$C$として, 一般二項定理より
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}(x+it)^{\nu}e^{-t^2}\,dt&=\int_{C}(x+it)^{\nu}e^{-t^2}\,dt\\
&=i^{\nu}\int_C(1-ix/t)^{\nu}t^{\nu}e^{-t^2}\,dt\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-\nu)_n}{n!}x^ni^{n+\nu}\int_Ct^{\nu-n}e^{-t^2}\,dt
\end{align}
ここで, $\infty$から原点を正の向きに回って$\infty$に戻るHankel路を$C'$とすると, ガンマ関数のHankel積分表示より(この場合始点の偏角が$-2\pi$であることに注意.),
\begin{align}
&\int_Ct^{\nu-n}e^{-t^2}\,dt\\
&=\frac 12\int_Ct^{\frac{\nu-n-1}2}e^{-t}\,dt\qquad t^2\mapsto t\\
&=\frac 12(e^{-i\pi(\nu-n-1)}-1)\Gamma\left(\frac{\nu-n+1}2\right)\\
&=\frac{\pi i^{n-\nu}}{\Gamma\left(\frac{1-\nu+n}2\right)}
\end{align}
となるから, これを代入して
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}(x+it)^{\nu}e^{-t^2}\,dt&=\sum_{0\leq n}\frac{(-\nu)_n}{n!}x^ni^{n+\nu}\frac{\pi i^{n-\nu}}{\Gamma\left(\frac{1-\nu+n}2\right)}\\
&=\pi\sum_{0\leq n}\frac{(-\nu)_n}{n!\Gamma\left(\frac{1-\nu+n}2\right)}(-x)^n\\
&=\pi\left(\frac 1{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)}\sum_{0\leq n}\frac{(-\nu)_{2n}}{(2n)!\left(\frac{1-\nu}2\right)_n}x^{2n}-\frac 1{\Gamma\left(-\frac{\nu}2\right)}\sum_{0\leq n}\frac{(-\nu)_{2n+1}}{(2n+1)!\left(-\frac{\nu}2\right)_{n+1}}x^{2n+1}\right)\\
&=\pi\left(\frac 1{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)}\F11{-\frac{\nu}2}{\frac 12}{x^2}-\frac{2x}{\Gamma\left(-\frac{\nu}2\right)}\F11{\frac{1-\nu}2}{\frac 32}{x^2}\right)
\end{align}
よって,
\begin{align}
\frac{2^\nu}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(x+it)^{\nu}e^{-t^2}\,dt&=2^{\nu}\sqrt{\pi}\left(\frac 1{\Gamma\left(\frac{1-\nu}2\right)}\F11{-\frac{\nu}2}{\frac 12}{x^2}-\frac{2x}{\Gamma\left(-\frac{\nu}2\right)}\F11{\frac{1-\nu}2}{\frac 32}{x^2}\right)\\
&=H_{\nu}(x)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
最初のHermite関数の定義は項が2つに分かれていて, 良い定義かどうかがすぐには分からないかもしれないが, このようにLaplace型積分表示がそのまま拡張できるという意味で良い定義になっていると言える. Gegenbauer多項式の場合もLaplace型積分表示はそのままの形で拡張されたので, 一般の直交多項式もこのような表示を元に関数に拡張するのは自然かもしれない.
