超球関数のLaplace型積分表示
前の記事
で超球多項式のLaplace型積分表示
\begin{align}
C_n^{(a)}(\cos\theta)&=\frac{(2a)_n}{n!}\frac{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}\int_0^{\pi}(\cos\theta+i\sin\theta\cos\phi)^n\sin^{2a-1}\phi\,d\phi
\end{align}
を示した. 今回は超球多項式の一般化である超球関数
\begin{align}
C_{\nu}^{(a)}(x):=\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}
\end{align}
に対してLaplace型積分表示を示す.
\begin{align} C_{\nu}^{(a)}(\cos\theta)&=\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\frac{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}\int_0^{\pi}(\cos\theta+i\sin\theta\cos\phi)^{\nu}\sin^{2a-1}\phi\,d\phi \end{align}
$|\tan\theta|<1$とする. 一般二項定理を用いると,
\begin{align}
&\int_0^{\pi}(\cos\theta+i\sin\theta\cos\phi)^{\nu}\sin^{2a-1}\phi\,d\phi\\
&=\int_0^{\pi/2}((\cos\theta+i\sin\theta\sin\phi)^{\nu}+(\cos\theta-i\sin\theta\sin\phi)^{\nu})\cos^{2a-1}\phi\,d\phi\\
&=2\cos^{\nu}\theta\int_0^{\pi/2}\sum_{0\leq k}\frac{(-\nu)_{2k}}{(2k)!}(-1)^k\tan^{2k}\theta\sin^{2k}\phi\cos^{2a-1}\phi\,d\phi\\
&=2\cos^{\nu}\theta\sum_{0\leq k}\frac{(-\nu)_{2k}}{(2k)!}(-1)^k\tan^{2k}\theta\int_0^{\pi/2}\sin^{2k}\phi\cos^{2a-1}\phi\,d\phi\\
&=\cos^{\nu}\theta\sum_{0\leq k}\frac{(-\nu)_{2k}}{(2k)!}(-1)^k\tan^{2k}\theta\frac{\Gamma\left(k+\frac 12\right)\Gamma(a)}{\Gamma\left(k+a+\frac 12\right)}\\
&=\cos^{\nu}\theta\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\F21{-\frac{\nu}2,\frac{1-\nu}2}{a+\frac 12}{-\tan^2\theta}
\end{align}
となる. ここで, Pfaffの変換公式より
\begin{align}
\cos^{\nu}\theta\F21{-\frac{\nu}2,\frac{1-\nu}2}{a+\frac 12}{-\tan^2\theta}&=\F21{-\frac{\nu}2,a+\frac{\nu}2}{a+\frac 12}{\sin^2\theta}
\end{align}
となる. さらに, Kummerの
二次変換公式
\begin{align}
\F21{\frac a2,\frac b2}{\frac{a+b+1}2}{4z(1-z)}&=\F21{a,b}{\frac{a+b+1}2}z
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
\F21{-\frac{\nu}2,a+\frac{\nu}2}{a+\frac 12}{\sin^2\theta}&=\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-\cos\theta}2}
\end{align}
となる. これを代入すると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\frac{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}\int_0^{\pi}(\cos\theta+i\sin\theta\cos\phi)^{\nu}\sin^{2a-1}\phi\,d\phi\\
&=\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-\cos\theta}2}\\
&=C_{\nu}^{(a)}(\cos\theta)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる. $|\tan\theta|<1$の制限がない場合についても$\cos\theta$に関する解析接続によって成り立つことが分かる.
前の記事 では$n$が奇数の場合と偶数の場合で場合分けして証明したが, このようにKummerの二次変換公式を用いることでシンプルに示すことができるようである.
Legendre関数
Legendre多項式の一般化であるLegendre関数も
\begin{align}
P_{\nu}(z):=\F21{-\nu,\nu+1}{1}{\frac{1-z}2}=C_{\nu}^{\left(\frac 12\right)}(z)
\end{align}
で定義される. 定理1において$a=\frac 12$として以下を得る.
\begin{align} P_{\nu}(\cos\theta)&=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}(\cos\theta+i\sin\theta\sin\phi)^{\nu}\,d\phi \end{align}
前の記事 でHermite多項式のLaplace型積分表示も示したが, 次の記事 でHermite関数に対しても同じようなLaplace型積分表示を示した.
