「変な形の割り算」の続き

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はじめに

　こんにちは、ほぼn周年のn=1です。今回は変な形の割り算を使い、公式を導出していきます。

系

　まずはいくつかの系です。

$$\underset{k=m}{\overset{n}{\huge N}}f(k)=(\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k)}{\underset{k=1}{\overset{m-1}{\huge N}}f(k)})^{(-1)^{-m+1}}\ \ \ \ (1 \leq m)$$
$$\underset{k=m}{\overset{n}{\huge N}}f(k)=(\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k))^{(-1)^{1-m}}e^{(-1)^{-m} \sum_{k=0}^{-m}(-1)^{-k}\ln(-k)}\ (=(\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k))^{(-1)^{1-m}}(\underset{k=0}{\overset{-m}{\huge N}}f(-k))^{(-1)^{-m}})\ \ \ \ (m \leq 1)$$

$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k+C)=\underset{k=1+C}{\overset{n+C}{\huge N}}f(k)\ \ \ \ (Cは任意定数)$

$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k)^C=(\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k))^C\ \ \ \ (Cは任意定数)$

$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}C^{f(k)}=(\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}x^{f(k)})^{\log_{x}{C}}\ \ \ \ (x,Cは任意定数)$

$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k)g(k)=\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k)\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}g(k)$

$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k)=(\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(n-k+1))^{(-1)^{-n+1}}$

$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k)^{(-1)^{k-1}}= \prod_{k=1}^{n}f(k) $

$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}C=C^{\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}}\ \ \ \ (Cは任意定数)$

　この全ての場合において[1,n]のとき$f(C)\neq 0$でないと$\frac{1}{0}$が出現するか、0になります。

本題

　それでは、いくつかの公式を証明していきいます。

$$ \prod_{k=1}^{n} \underset{j=1}{\overset{k}{\huge N}}f(k-j+1)= \prod_{k=1}^{n} f(k)^{\frac{1+(-1)^{n-k}}{2}} $$

証明

　$f(x)=e^{g(x)}$とすれば式が簡単になるのでそう考えます。
$$\prod_{k=1}^{n} \underset{j=1}{\overset{k}{\huge N}}e^{g(k-j+1)}=e^{\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (-1)^{j-1}g(k-j+1)}=e^{g(1)+(g(2)-g(1))+\cdots+(g(n)-g(n-1)+\cdots+(-1)^{n-1}g(1))}=e^{\sum_{k=1}^{n} \frac{g(k)+(-1)^{n-k}g(k)}{2}}= \prod_{k=1}^{n} e^{\frac{g(k)+(-1)^{n-k}g(k)}{2}}=\prod_{k=1}^{n} f(k)^{\frac{1+(-1)^{n-k}}{2}}$$
以上より示された。

$$ \prod_{k=1}^{n} \underset{j=1}{\overset{k}{\huge N}}f(k)=\prod_{k=1}^{n}f(k)^{(-1)^{k-1}(n-k+1)} $$

証明

定理1と同様に
$$\prod_{k=1}^{n} \underset{j=1}{\overset{k}{\huge N}}e^{g(k)}=e^{g(1)+(g(1)-g(2))+\cdots+(g(1)-g(2)+\cdots+(-1)^{n-1}g(n))}=e^{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k+1}g(k)}=\prod_{k=1}^{n}e^{g(k)(-1)^{k-1}(n-k+1)}=\prod_{k=1}^{n}f(k)^{(-1)^{k-1}(n-k+1)}$$
以上より示された。

$$\underset{k=1}{\overset{n}{\huge N}}f(k+C)=(\frac{\underset{j=1}{\overset{C}{\huge N}}f(j)}{\underset{i=1}{\overset{C+n}{\huge N}}f(i)})^{(-1)^C}\ \ \ \ (Cは任意定数)$$

証明

1-系、2-系より自明

1~2ををn分割し、変な形の割り算をした$\underset{k=1}{\overset{n+1}{\huge N}}(1+\frac{k-1}{n})$は
$$\underset{k=1}{\overset{n+1}{\huge N}}(1+\frac{k-1}{n})=n^{\frac{(-1)^{n+1}-1}{2}}(\frac{\underset{j=1}{\overset{n-1}{\huge N}}j}{\underset{i=1}{\overset{2n}{\huge N}}i})^{(-1)^{n-1}}$$

証明

$$\underset{k=1}{\overset{n+1}{\huge N}}(1+\frac{k-1}{n})=\underset{k=1}{\overset{n+1}{\huge N}}(\frac{n+k-1}{n})$$
5-系、8-系より
$$=\frac{\underset{k=1}{\overset{n+1}{\huge N}}n+k-1}{\underset{k=1}{\overset{n+1}{\huge N}}n}=n^{\frac{(-1)^{n+1}-1}{2}}\underset{k=1}{\overset{n+1}{\huge N}}n+k-1$$
定理4より
$$=n^{\frac{(-1)^{n+1}-1}{2}}(\frac{\underset{j=1}{\overset{n-1}{\huge N}}j}{\underset{i=1}{\overset{2n}{\huge N}}i})^{(-1)^{n-1}}$$
よって示された。

$$(i)...1\divsymbol(2\divsymbol({\cdot\cdot\cdot}\divsymbol(2n\divsymbol(2n+1)){\cdot\cdot\cdot}))=(2n+1)\divsymbol(2n\divsymbol({\cdot\cdot\cdot}\divsymbol(2\divsymbol1){\cdot\cdot\cdot}))$$
$$(ii)...1\divsymbol(2\divsymbol({\cdot\cdot\cdot}\divsymbol((2n-1)\divsymbol2n){\cdot\cdot\cdot}))=\frac{1}{2n\divsymbol((2n-1)\divsymbol({\cdot\cdot\cdot}\divsymbol(2\divsymbol1){\cdot\cdot\cdot}))}$$
$(n \in \mathbb{Z} )$

証明

$(i)$の場合は$\underset{k=1}{\overset{2n+1}{\huge N}}k$、$(ii)$の場合は$\underset{k=1}{\overset{2n}{\huge N}}k$を計算したときなので正しい。