「変な形の割り算」の続き

149

はじめに

　こんにちは、ほぼn周年のn=1です。今回は変な形の割り算を使い、公式を導出していきます。

系

　まずはいくつかの系です。

$\underset{k = m}{\overset{n}{N}} f (k) = (\frac{\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k)}{\underset{k = 1}{\overset{m - 1}{N}} f (k)})^{(- 1)^{- m + 1}} (1 \leq m)$
$\underset{k = m}{\overset{n}{N}} f (k) = (\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k))^{(- 1)^{1 - m}} e^{(- 1)^{- m} \sum_{k = 0}^{- m} (- 1)^{- k} \ln (- k)} (= (\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k))^{(- 1)^{1 - m}} (\underset{k = 0}{\overset{- m}{N}} f (- k))^{(- 1)^{- m}}) (m \leq 1)$

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k + C) = \underset{k = 1 + C}{\overset{n + C}{N}} f (k) (C は任意定数)$

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k)^{C} = (\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k))^{C} (C は任意定数)$

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} C^{f (k)} = (\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} x^{f (k)})^{\log_{x} C} (x, C は任意定数)$

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k) g (k) = \underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k) \underset{k = 1}{\overset{n}{N}} g (k)$

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k) = (\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (n - k + 1))^{(- 1)^{- n + 1}}$

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k)^{(- 1)^{k - 1}} = \prod_{k = 1}^{n} f (k)$

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} C = C^{\frac{1 + (- 1)^{n - 1}}{2}} (C は任意定数)$

　この全ての場合において[1,n]のとき $f (C) \neq 0$ でないと $\frac{1}{0}$ が出現するか、0になります。

本題

　それでは、いくつかの公式を証明していきいます。

$\prod_{k = 1}^{n} \underset{j = 1}{\overset{k}{N}} f (k - j + 1) = \prod_{k = 1}^{n} f (k)^{\frac{1 + (- 1)^{n - k}}{2}}$

証明

f (x) = e^{g (x)}

とすれば式が簡単になるのでそう考えます。

\prod_{k = 1}^{n} \underset{j = 1}{\overset{k}{N}} e^{g (k - j + 1)} = e^{\sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} (- 1)^{j - 1} g (k - j + 1)} = e^{g (1) + (g (2) - g (1)) + \dots + (g (n) - g (n - 1) + \dots + (- 1)^{n - 1} g (1))} = e^{\sum_{k = 1}^{n} \frac{g (k) + (- 1)^{n - k} g (k)}{2}} = \prod_{k = 1}^{n} e^{\frac{g (k) + (- 1)^{n - k} g (k)}{2}} = \prod_{k = 1}^{n} f (k)^{\frac{1 + (- 1)^{n - k}}{2}}

以上より示された。

$\prod_{k = 1}^{n} \underset{j = 1}{\overset{k}{N}} f (k) = \prod_{k = 1}^{n} f (k)^{(- 1)^{k - 1} (n - k + 1)}$

証明

定理1と同様に

\prod_{k = 1}^{n} \underset{j = 1}{\overset{k}{N}} e^{g (k)} = e^{g (1) + (g (1) - g (2)) + \dots + (g (1) - g (2) + \dots + (- 1)^{n - 1} g (n))} = e^{\sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{n - k + 1} g (k)} = \prod_{k = 1}^{n} e^{g (k) (- 1)^{k - 1} (n - k + 1)} = \prod_{k = 1}^{n} f (k)^{(- 1)^{k - 1} (n - k + 1)}

以上より示された。

$\underset{k = 1}{\overset{n}{N}} f (k + C) = (\frac{\underset{j = 1}{\overset{C}{N}} f (j)}{\underset{i = 1}{\overset{C + n}{N}} f (i)})^{(- 1)^{C}} (C は任意定数)$

証明

1-系、2-系より自明

1~2ををn分割し、変な形の割り算をした $\underset{k = 1}{\overset{n + 1}{N}} (1 + \frac{k - 1}{n})$ は
$\underset{k = 1}{\overset{n + 1}{N}} (1 + \frac{k - 1}{n}) = n^{\frac{(- 1)^{n + 1} - 1}{2}} (\frac{\underset{j = 1}{\overset{n - 1}{N}} j}{\underset{i = 1}{\overset{2 n}{N}} i})^{(- 1)^{n - 1}}$

証明

\underset{k = 1}{\overset{n + 1}{N}} (1 + \frac{k - 1}{n}) = \underset{k = 1}{\overset{n + 1}{N}} (\frac{n + k - 1}{n})

5-系、8-系より

= \frac{\underset{k = 1}{\overset{n + 1}{N}} n + k - 1}{\underset{k = 1}{\overset{n + 1}{N}} n} = n^{\frac{(- 1)^{n + 1} - 1}{2}} \underset{k = 1}{\overset{n + 1}{N}} n + k - 1

定理4より

= n^{\frac{(- 1)^{n + 1} - 1}{2}} (\frac{\underset{j = 1}{\overset{n - 1}{N}} j}{\underset{i = 1}{\overset{2 n}{N}} i})^{(- 1)^{n - 1}}

よって示された。

$(i) . . .1 \div (2 \div (\cdot \cdot \cdot \div (2 n \div (2 n + 1)) \cdot \cdot \cdot)) = (2 n + 1) \div (2 n \div (\cdot \cdot \cdot \div (2 \div 1) \cdot \cdot \cdot))$
$(i i) . . .1 \div (2 \div (\cdot \cdot \cdot \div ((2 n - 1) \div 2 n) \cdot \cdot \cdot)) = \frac{1}{2 n \div ((2 n - 1) \div (\cdot \cdot \cdot \div (2 \div 1) \cdot \cdot \cdot))}$
$(n \in Z)$