ζ(3)と余弦積分の面白い関係

2022年12月30日の夜のメッセージ

ちょうど一年前、Sillpherthがこんなメッセージを送ってきた。
Sillpherthより。
どうやら、$\zeta(3)$に収束する面白い級数を発見したらしい。
その主張がコチラ。

めちゃくちゃ面白いですね。これを証明して行きます。

簡単な関係式１

\begin{align} \qquad \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(|n|+1)^3} &=1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^3}\\ &=-1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\\ &=2\zeta(3)-1 \end{align}

ポアソン和公式[ wiki ]

\begin{align} \qquad \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(|n|+1)^3} &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}_n\left[\frac{1}{(|n|+1)^3}\right](m)&\text{ポアソン和公式}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-2\pi imx}}{(|x|+1)^3}dx\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{0}\frac{e^{-2\pi imx}}{(|x|+1)^3}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi imx}}{(|x|+1)^3}dx\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\frac{e^{2\pi imx}}{(x+1)^3}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi imx}}{(x+1)^3}dx\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\frac{2\cos(2\pi mx)}{(x+1)^3}dx \end{align}

積分の計算１

\begin{align} \qquad \int_{0}^{\infty}\frac{2\cos(2\pi mx)}{(x+1)^3}\,dx &=\left[-\frac{\cos(2\pi mx)}{(x+1)^2}\right]_{0}^{\infty} -2\pi m\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2\pi mx)}{(x+1)^2}dx\\ &=1-2\pi m\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2\pi mx)}{(x+1)^2}dx\\ &=1-2\pi m \left( \left[-\frac{\sin(2\pi mx)}{x+1}\right]_{0}^{\infty} +2\pi m\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(2\pi mx)}{x+1}dx \right)\\ &=1-4\pi^2 m^2 \int_{0}^{\infty}\frac{\cos(2\pi mx)}{x+1}dx\\ \end{align}

簡単な関係式２

加法定理より
\begin{align} \qquad \cos(2\pi m(x-1))&=\cos(2\pi mx-2\pi m)\\[3mm] &=\cos2\pi mx\cos2\pi m+\sin2\pi mx\sin2\pi m\\[3mm] &=\cos2\pi mx \end{align}
最後の変形は、$m$が整数であることを用いている。

積分の計算２

\begin{align} \qquad \int_{0}^{\infty}\frac{\cos(2\pi mx)}{x+1}dx &=\int_{1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi m(x-1))}{x}dx\\[1mm] &=\int_{1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi mx)}{x}dx&\text{簡単な関係式２}\\[1mm] &=\int_{2\pi m}^{\infty}\frac{\cos z}{z}dz&z\coloneqq 2\pi mx\\[2mm] &=-\mathrm{Ci}(2\pi m)&\mathrm{Ci}(x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos z}{z}dz \end{align}

まとめると...

\begin{align} \qquad 2\zeta(3)-1&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(|n|+1)^3}&\text{簡単な関係式１}\\[1mm] &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\frac{2\cos(2\pi mx)}{(x+1)^3}dx&\text{ポアソン和公式}\\[1mm] &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \left(1-4\pi^2 m^2 \int_{0}^{\infty}\frac{\cos(2\pi mx)}{x+1}dx \right)&\text{積分の計算１}\\[1mm] &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \Big(1+4\pi^2 m^2\mathrm{Ci}(2\pi m)\Bigr)&\text{積分の計算２}\\[1mm] &=-1+2\sum_{m=0}^{\infty}\Big(1+4\pi^2 m^2\mathrm{Ci}(2\pi m)\Bigr) \end{align}
これを整理して、
$$\qquad \zeta(3)=\sum_{m=0}^{\infty}\Big(1+4\pi^2 m^2\mathrm{Ci}(2\pi m)\Bigr)$$
を得る。

お疲れ様でした。

この議論の拡張を随時記事にしようと思います！

つづきの記事(未実装)

・一般の$\zeta(n)$への拡張！(未実装)
・多重対数関数への拡張！(未実装)
・二重ゼータへの拡張！(未実装)