ζ(3)と余弦積分の面白い関係

2022年12月30日の夜のメッセージ

ちょうど一年前、Sillpherthがこんなメッセージを送ってきた。
Sillpherthより。
どうやら、$\zeta (3)$に収束する面白い級数を発見したらしい。
その主張がコチラ。

めちゃくちゃ面白いですね。これを証明して行きます。

簡単な関係式１

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(|n|+1{)}^3}& =1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^3}\\ & =-1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}\\ & =2\zeta (3)-1\end{array}$$

ポアソン和公式[ wiki ]

$$\begin{array}{rlr}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(|n|+1{)}^3}& =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{F}}_n\left[\frac{1}{(|n|+1{)}^3}\right](m)& \text{ポアソン和公式}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-2\pi imx}}{(|x|+1{)}^3}dx\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{e^{-2\pi imx}}{(|x|+1{)}^3}dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-2\pi imx}}{(|x|+1{)}^3}dx\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2\pi imx}}{(x+1{)}^3}dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-2\pi imx}}{(x+1{)}^3}dx\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cos \left(2\pi mx\right)}{(x+1{)}^3}dx\end{array}$$

積分の計算１

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cos \left(2\pi mx\right)}{(x+1{)}^3}dx& ={[-\frac{\cos \left(2\pi mx\right)}{(x+1{)}^2}]}_0^{\mathrm{\infty }}-2\pi m{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2\pi mx\right)}{(x+1{)}^2}dx\\ & =1-2\pi m{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2\pi mx\right)}{(x+1{)}^2}dx\\ & =1-2\pi m({[-\frac{\sin \left(2\pi mx\right)}{x+1}]}_0^{\mathrm{\infty }}+2\pi m{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(2\pi mx\right)}{x+1}dx)\\ & =1-4{\pi }^2{m}^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(2\pi mx\right)}{x+1}dx\end{array}$$

簡単な関係式２

加法定理より
$$\begin{array}{rl}\cos (2\pi m(x-1))& =\cos (2\pi mx-2\pi m)\\ & =\cos 2\pi mx\cos 2\pi m+\sin 2\pi mx\sin 2\pi m\\ & =\cos 2\pi mx\end{array}$$
最後の変形は、$m$が整数であることを用いている。

積分の計算２

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(2\pi mx\right)}{x+1}dx& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (2\pi m(x-1))}{x}dx\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(2\pi mx\right)}{x}dx& \text{簡単な関係式２}\\ & ={\int }_{2\pi m}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos z}{z}dz& z:=2\pi mx\\ & =-\mathrm{Ci}(2\pi m)& \mathrm{Ci}(x)=-{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos z}{z}dz\end{array}$$

まとめると...

$$\begin{array}{rlr}2\zeta (3)-1& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(|n|+1{)}^3}& \text{簡単な関係式１}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cos \left(2\pi mx\right)}{(x+1{)}^3}dx& \text{ポアソン和公式}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1-4{\pi }^2{m}^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(2\pi mx\right)}{x+1}dx)& \text{積分の計算１}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1+4{\pi }^2{m}^2\mathrm{Ci}(2\pi m))& \text{積分の計算２}\\ & =-1+2\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(1+4{\pi }^2{m}^2\mathrm{Ci}(2\pi m))\end{array}$$
これを整理して、
$$\zeta (3)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(1+4{\pi }^2{m}^2\mathrm{Ci}(2\pi m))$$
を得る。

お疲れ様でした。

この議論の拡張を随時記事にしようと思います！

つづきの記事(未実装)

・一般の$\zeta (n)$への拡張！(未実装)
・多重対数関数への拡張！(未実装)
・二重ゼータへの拡張！(未実装)