カントルさんここ教えてください！

対角線論法の「表」をノートに写して気がいたこと

カントールの対角線論法が難しくて、読んでいた集合論の本を投げ出してしまいました。
それから私は……不貞腐れながら、とにかく、あの訳の分からない「表」をノートに書き写していました。
書いているときに、あれ……と、ようやくカントールさんが言っていることに気が付き、私は納得しました。
さらに表を書き写していると、次のような疑問が沸き起こりました。
疑問が起こったところを下に書いてみます。

疑問点

1, 2, 3, … という位置に数字の 0 と 1 を並べて、その配列を2進法で表された数とします。
1, 2, 3, … と並べたまま、同時に、$1, 2, 4, 8, \ldots$ の位置の数字のみを抜き取れば……？
その抜き取った配列は、自然数と同じ濃度を持つのではないのか？
仮にそれらをすべて自然数の2進数表示に切り替えると……どうなるのか？
その際に、対角線論法は成立するのだろうか？
カントルさん教えてください！

表

まず上が、従来の対角線論法での配列の表し方です。

次が私の考えたものです。

「なし」の部分は、「1, 2, 3, … と並べたまま、同時に、$1, 2, 4, 8, \ldots$ の数字のみを抜き取れば……？」を忠実に再現しています。
表が分かりにくくてすみませんが、とりあえずこんな感じです。