今回は,キモすぎる公式,Ramanujan's master theorem(以下,ジャンマス,RMT)との出会いと,自力でガバ証明を与えるまでの葛藤を綴っていこうと思う.
RMTって略され方は英語圏の文章で見かける気がするけど,ジャンマスは勝手に俺がそう呼んでるだけだから注意されたし.
1年前ほど前(2022年5月),はてなで油そばを食いながら英wiki見漁っていたときに次の公式を発掘した.
ラマヌジャンらしいキモい式だなと思った.一体何を食ったらこんな式思いつくんだ?
俺は直感的に,この式の和の部分は
同時に,これを
右辺を思いついた経緯だが,普通のジャンマスが
と示されるはずだから,
となると予想した.実際,一般化の式で
色々調べたら実際にこの直感は正しいことが分かったが,問題なのは,通常のジャンマスでさえ証明がどこにも載っていなかったことだ.
面倒なので,長い間放置していたが,自分の力ではこれ以上探せないため,自力で証明してみることにした.
予想式において,最初は
実際はそうはいかなかったが,
ラマヌジャンはここからジャンマスを思いついたのだろうと感じた.
しかし,部分積分の計算過程で発散してうまく計算ができない箇所があった.
計算がうまくいかなかったが,すでに証明の一歩手前まで来ていたので,アプローチは変えなかった.
そこで,我々非数学屋の特権に手を出すことにした.に
都合よく積分区間が
数学屋に怒られそうだったが,知見が欲しかったため,Twitterにこの証明を投稿した.悲しいことに,1つもいいねが付かなかった.
その証明が次である.
より,
ジャンマスそのものを用いた証明.
Riemann-Liouville 積分において,
ジャンマスを既知のものとした証明.でないと循環論法になる.
先のツイートをする直前に反復積分に関する問題を解いていたので,そこから閃いた.
簡単のため
この両辺に
任意の関数