2.5=5/2みたいな数

$N=an,\ M=am \enspace (\mathrm{gcd}(n,m)=1)$とし
$a=10^kd \enspace (k,d\in\mathbb{Z}_\geqslant,10\nmid d)$とおくと
$[\log_{10}M]+1=[\log_{10}am]+1=$
$[\log_{10}a+\log_{10}m]+1=k+[\log_{10}d+\log_{10}m]+1$
で$b=[\log_{10}d+\log_{10}m]+1$とおく。
\begin{gather} 与式 \Longleftrightarrow an+\frac{am}{10^{[\log_{10}am]+1}}=\frac{m}{n} \tag{1} \\ an(10^{[\log_{10}am]+1}an+am)=10^{[\log_{10}am]+1}am \\ an(10^{k+b}an+am)=10^{k+b}am \\ 10^{k}dn(10^{k+b}n+m)=10^{k+b}m \\ dn(10^{k+b}n+m)=10^{b}m \\ 10^{b}(m-10^{k}dn^2)=dnm \tag{2} \end{gather}
$(1)$の左辺は有限小数より、右辺も有限小数である。
$\therefore n=2^{t}\cdot5^{f} \enspace (s,f\in\mathbb{Z}_\geqslant,\ t^2+f^2\neq0)$とおける。

（あ）$t,f>0$とする。
$10\mid n,\ \mathrm{gcd}(n,m)=1$より$10\nmid m$である。
これと$(2)$より$10^b\mid dnm$であるから
$$ 10^b\mid dn \enspace \displaystyle \therefore \frac{dn}{10^{b}}\geqq1 $$である。このとき
$$ (2) \Longleftrightarrow m\left(1-\frac{dn}{10^{b}}\right)=10^{k}dn^2 $$
の左辺は非正、右辺は正となり矛盾。
（い）$t=0,f>0$とする。
このとき、$n=5^{f}$。
$\mathrm{gcd}(n,m)=1$より$n\nmid m-10^kdn^2$であるから
$$ (2) \Longleftrightarrow 2^b\cdot5^{b-f}(m-10^kdn^2)=dm \tag{3} $$
（ア）$b=f$のとき
\begin{align} (3) \Longleftrightarrow 2^b(m-10^kdn^2)=dm \\ m(2^b-d)=2^{k+b}\cdot5^{k+b}d(5^f)^2 \\ m(2^b-d)=2^{k+b}\cdot5^{k+b+2f}d \end{align}
$\mathrm{gdc}(n,m)=1$より$5\nmid m \enspace \therefore 5^{k+b+2f}\mid 2^b-d$
よって$2^b-d=5^pl \enspace (5\nmid l)$とおけて、$p\geqq k+b+2f$
$$ \therefore 5^{p-(k+b+2f)}ml=2^{k+b}d $$
これより$m=2^pm',\ l=2^ql',\ d=2^rd'$
$(p,q,r\in\mathbb{Z}_\geqslant, 2\nmid m',5\nmid m',2\nmid l',2\nmid d')$
とおくと、先の式は
$$ 2^{p+q}\cdot5^{p-(k+b+2f)}m'l'=2^{k+b+r}d' $$