2.5=5/2みたいな数

$N=an,M=am(\gcd (n,m)=1)$とし
$a={10}^{k}d(k,d\in {\mathbb{Z}}_{⩾},10\nmid d)$とおくと
$[{\log }_{10}M]+1=[{\log }_{10}am]+1=$
$[{\log }_{10}a+{\log }_{10}m]+1=k+[{\log }_{10}d+{\log }_{10}m]+1$
で$b=[{\log }_{10}d+{\log }_{10}m]+1$とおく。
$$\begin{array}{c}\text{(1)}& 与式⟺an+\frac{am}{{10}^{[{\log }_{10}am]+1}}=\frac{m}{n}n({10}^{[{\log }_{10}am]+1}an+am)={10}^{[{\log }_{10}am]+1}m\\ an({10}^{k+b}n+m)={10}^{k+b}m\\ {10}^{k}dn({10}^{k+b}n+m)={10}^{k+b}m\\ dn({10}^{k+b}n+m)={10}^{b}m\\ \text{(2)}& {10}^b(m-{10}^{k}d{n}^2)=dnm\end{array}$$
$(1)$の左辺は有限小数より、右辺も有限小数である。
$\therefore n=2^t\cdot 5^f(t,f\in {\mathbb{Z}}_{⩾},t^2+f^2\ne 0)$とおける。

（あ）$t,f>0$とする。
$10\mid n,\gcd (n,m)=1$より$10\nmid m$である。
これと$(2)$より${10}^b\mid dnm$であるから
$${10}^b\mid dn{\displaystyle \therefore \frac{dn}{{10}^b}\geqq 1}$$である。このとき
$$(2)⟺m(1-\frac{dn}{{10}^b})={10}^{k}d{n}^2$$
の左辺は非正、右辺は正となり矛盾。
（い）$t=0,f>0$とする。
このとき、$n=5^f$。
$\gcd (n,m)=1$より$n\nmid m-{10}^{k}d{n}^2$であるから
$$\begin{array}{}\text{(3)}& (2)⟺2^b\cdot 5^{b-f}(m-{10}^{k}d{n}^2)=dm\end{array}$$
（ア）$b=f$のとき
$$\begin{array}{r}(3)⟺2^b(m-{10}^{k}d{n}^2)=dm\\ m(2^b-d)=2^{k+b}\cdot 5^{k+b}d(5^f{)}^2\\ m(2^b-d)=2^{k+b}\cdot 5^{k+b+2f}d\end{array}$$
$\mathrm{gdc}(n,m)=1$より$5\nmid m\therefore 5^{k+b+2f}\mid 2^b-d$
よって$2^b-d=5^{p}l(5\nmid l)$とおけて、$p\geqq k+b+2f$
$$\therefore 5^{p-(k+b+2f)}ml=2^{k+b}d$$
これより$m=2^p{m}^{\prime },l=2^q{l}^{\prime },d=2^r{d}^{\prime }$
$(p,q,r\in {\mathbb{Z}}_{⩾},2\nmid m^{\prime },5\nmid m^{\prime },2\nmid l^{\prime },2\nmid d^{\prime })$
とおくと、先の式は
$$2^{p+q}\cdot 5^{p-(k+b+2f)}{m}^{\prime }{l}^{\prime }=2^{k+b+r}{d}^{\prime }$$