「2.5=5/2みたいな数」問題の解答

はじめに

餃子n人前 さんの「 2.5=5/2みたいな数 」について考えてみました．
厳密性を欠く部分があるのですが，厳密性を補った解答や，異なるアプローチの元になるかもしれないので記事を投稿します．

解答

残念ながら$(M, N)=(5, 2)$以外の解はないと思われます．


$L=[\log_{10}M]+1$とします．($L \in \mathbb{Z}^+$)
$x-1 \lt [x] \leq x$ですから，$M \lt 10^L \leq 10M$です．
したがって (式の意図からも明らかですが)，$\frac{1}{10} \leq \frac{M}{10^{[\log_{10}M]+1}}=\frac{M}{10^L} \lt 1$となり，$\frac{M}{10^L}$は$\frac{1}{10}$以上$1$未満の小数です．

与式の左辺を見ると，整数部分$N$と小数部分$\frac{M}{10^L}$に分かれた形になっています．
そのため，$M$を$N$で割った商を$Q$，余りを$R$ $(0 \leq R \lt N)$とすると，$Q=N$ (つまり$M=N^2+R$)，$\frac{R}{N}=\frac{M}{10^L}$となることが分かります．
$\frac{1}{10} \leq \frac{M}{10^L} \lt 1$だったので，$\frac{1}{10} \leq \frac{R}{N} \lt 1$も分かります．

$\frac{R}{N}=\frac{M}{10^L}$に$M=N^2+R$を代入し$R$について解くと ($N \lt M \lt 10^L$より$10^L-N \gt 0$なので)，$R=\frac{N^3}{10^L-N}$となります．
$\frac{1}{10} \leq \frac{R}{N} \lt 1$だったので，$\frac{1}{10} \leq \frac{N^2}{10^L-N} \lt 1$です．


ここで$D=10^L-N$とおくと，$D$について次のことが分かります．

• $\frac{N^2}{D} \lt 1$なので$\frac{N^2}{D}$は整数ではない．
  $N=10^L-D$より$\frac{N^2}{D}=\frac{10^{2L}}{D}-2 \cdot 10^L+D$が整数ではないので，$D$は$10^{2L}$の約数ではない．
• $\frac{N^3}{D}=R$なので$\frac{N^3}{D}$は整数．
  $N=10^L-D$より$\frac{N^3}{D}=\frac{10^{3L}}{D}-3 \cdot 10^{2L}+3 \cdot 10^L D-D^2$が整数ではないので，$D$は$10^{3L}$の約数である．
  $D$は$10^{3L}$の約数であることから，$D=2^A 5^B$ $(A, B \in \mathbb{Z}_{\geq 0}, A \leq 3L, B \leq 3L)$とかけます．
  また$D$は$10^{2L}$の約数ではないので$A, B$のいずれかは$2L$より大きい必要がありますが，$B \gt 2L$の場合は$D \gt 25^L$となり$D=10^{L}-N \lt 10^L$に矛盾するので，$0 \leq B \leq 2L \lt A \leq 3L$が分かります．
  
  $B$の範囲をもう少し絞っておきます．
  $N^2 \lt D \lt 10^L$より$N \lt 10^{\frac{L}{2}}$です．
  よって$10^L-10^{\frac{L}{2}} \lt D=10^L-N=2^A 5^B \lt 10^L$，すなわち
  $$ \begin{equation} 10^L-10^{\frac{L}{2}} \lt 2^A 5^B \lt 10^L \tag{1} \end{equation} $$
  です．$(1)$を$10^B$で割ると
  $$ \begin{equation} 10^{L-B}-10^{\frac{L}{2}-B} \lt 2^{A-B} \lt 10^{L-B} \tag{2} \end{equation} $$
  となります．(特に，$B \lt A$より$2^{A-B}$は整数です)
  ここで$B \geq \frac{L}{2}$だとすると開区間$(10^{L-B}-10^{\frac{L}{2}-B}, 10^{L-B})$内に整数が存在しないことが簡単に分かり成り立たないので，$0 \leq B \lt \frac{L}{2}$です．
  
  
  さて，ここで不等式$(2)$がどのくらい厳しいのか実験してみます．
  簡単のため不等式$(2)$の左側を緩めて$10^{L-B}-10^{\frac{L-B}{2}} \lt 2^{A-B} \lt 10^{L-B}$とし，$a=A-B$，$l=L-B$ $(a, l \in \mathbb{Z}, \frac{3}{2}L \lt a \leq 3L, \frac{L}{2} \lt l \leq L)$とおくと不等式は
  $$ \begin{equation} 10^l-10^{\frac{l}{2}} \lt 2^a \lt 10^l \tag{3} \end{equation} $$
  となります．
  
  $l=1$のとき不等式$(3)$は$10-\sqrt{10} = 6.8\cdots \lt 2^a \lt 10$となり$a=3$です．これは$(M, N)=(5, 2)$に対応します．
  
  次に$l \geq 2$のときを考えます．不等式$(3)$は，$l=2$のとき$90 \lt 2^a \lt 100$，$l=4$のとき$9900 \lt 2^a \lt 10000$のようになり，$2^a$は最高位から$9$が$[\frac{l}{2}]$個だけ並んだ$l$桁の数になる必要があります．
  ところが$2^a$の最高位の数がはじめて$9$となるのは$a=53$のときの$2^a \simeq 9.0 \times 10^{15}$ですし，$2^a$の最高位から$2$桁がはじめて$99$になるのは$a=93$のときの$2^a \simeq 9.90 \times 10^{27}$ですし，$2^a$の最高位から$3$桁がはじめて$999$になるのは$a=2621$のときの$2^a \simeq 9.991 \times 10^{788}$です．
  そのため「$2^a$は最高位から$9$が$[\frac{l}{2}]$個だけ並んだ$l$桁の数になる」という条件は極めて厳しく，$l=1$のとき以外の解は存在しないだろうと想像できます．

より厳密な解答

$l$が十分大きいとき不等式$(3)$に解が存在しないことを，もう少し厳密に証明することに挑戦してみます．
不等式$(3)$の左側について，$2^a=10^{a \log_{10} 2}$を用い変形していくと
$$ \begin{equation} 1-10^{a \log_{10} 2 -l} \lt 10^{-\frac{l}{2}} \tag{4} \end{equation} $$
という形にできます．
不等式$(4)$の左辺は，もちろん$l$が大きくなると$\to +0$です．
いっぽう右辺については$a \log_{10} 2-l \lt 0$ $(\because 2^a \lt 10^l)$ですから$1-10^{a \log_{10} 2 -l} \gt 0$です．そして$a \log_{10} 2 -l \to -0$のとき右辺$\to +0$となります．

$a \log_{10} 2 -l$が$0$に近いというのは$\frac{l}{a}$が$\log_{10} 2$に近いということなので，無理数の近似分数の理論が使えそうです．
そこで$\log_{10} 2$の$k$次主近似分数を$\frac{p_k}{q_k}$とします．これは連分数展開で求められ，$1$次以降は$\frac{1}{3}, \frac{3}{10}, \frac{28}{93}, \frac{59}{196}, \frac{146}{485}, \cdots$と続きます．(このとき明らかに$p_k \lt q_k$です)
証明は省略しますが，主近似分数の性質から次の定理が成り立ちます．

また，ほぼ確実に次の予想が成り立つものと思われます．

さて，もしも
$$ \begin{equation} 1-10^{-\vert q_{k+1} \log_{10} 2 -p_{k+1} \vert} \geq 10^{-\frac{p_k}{2}} \tag{5} \end{equation} $$
が示せたとすると，$q_k \leq l \leq q_{k+1}$なる$(a, l)$について，
$$ \begin{align} 1-10^{a \log_{10} 2 -l}&=1-10^{-\vert a \log_{10} 2 -l \vert} \tag{$\because a \log_{10} 2-l \lt 0$}\\ &\gt 1-10^{-\vert q_{k+1} \log_{10} 2 -p_{k+1} \vert} \tag{$\because$定理$1$} \\ &\geq 10^{-\frac{p_k}{2}} \tag{$\because$不等式$(5)$の仮定} \\ &\gt 10^{-\frac{q_k}{2}} \tag{$\because p_k \lt q_k$}\\ &\geq 10^{-\frac{l}{2}} \tag{$\because q_k \leq l$}\\ \end{align} $$
となり，不等式$(4)$が成立しないことが分かります．
$k$が大きいとき不等式$(5)$が成立することを証明しましょう．

以上のことから$l$が十分大きいとき，不等式$(3)$に解が存在しないことが少し厳密に証明されました．

余談1

元の問題を次のように緩和すると，無限組の解が存在します．

ただし問題1のときと同様に考えることで$L \geq [\log_{10}M]+1$である解は$(L, M, N)=(1, 5, 2)$しか作れないことが分かります．


参考まで，$L=1, 2$の解を示します．ただし$(1, M, N)$が解のとき$(2, 100 M, 10 N)$も解になることはすぐ分かり面白くないので，そのような解は省略してあります．

$L=1$

$L=2$

余談2

「解答」の中で，$\frac{l}{a}$は$\log_{10} 2$に近いことが分かりました．
このような$(a, l)$の組を使って$(M, N)$を逆算することを考えます．(逆算の過程で$B$を決める必要がありますが，適当に$B=0$としておきます)
このとき$(a, l)=(3, 1)$でなければ$M$は整数になりませんし，また$a \log_{10} 2-l \lt 0$でなければ$N$は正になりませんが，$2.5 = \frac{5}{2}$に似た形の式を得ることができます．

$(a, l)$の組を$\log_{10} 2$の中間近似分数から求めると，次のような結果が得られます．
このような式はいくらでも得ることができますが，$(a, l)=(23, 7)$の例から分かる通り$\frac{M}{10^l}$の項が急速に大きくなっていきます．