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det(I+AB)の対称的な表示

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$m\times n$行列のことを$(m,n)$型行列ということにする. $I_n$を$n$次の単位行列とするとき, 以下が成り立つことが知られている.

$(m,n)$型行列$A$と$(n,m)$型行列$B$に対して,
\begin{align} \det(I_m+AB)=\det(I_n+BA) \end{align}
が成り立つ.

これは, Sylvesterの行列式恒等式, Weinstein–Aronszajn identityと呼ばれているようであり, この等式自体はブロック行列$\left(\begin{matrix}I_m&A\\-B&I_n\end{matrix}\right)$を用いることによって簡潔に示すことができるようである( Wikipediaの記事を参照). 今回は別のアプローチとして, $A,B$に関して対称的な表示を与えることによって定理1の証明を与えたいと思う.

Cauchy-Binetの公式

$[N]:=\{1,\dots,N\}$と表す. $A$を$(m,n)$型行列とする. $[n]$の部分集合$S=\{s_1,\dots,s_l\}$に対し, $A$の$s_1,\dots,s_l$列目以外を除いた行列を$A_S$として, $[m]$の部分集合$T=\{t_1,\dots,t_l\}$に対し, $t_1,\dots,t_l$行目以外を除いた行列を$A^T$と書くことにする(これは転置行列の記号と紛らわしいが, この記事では転置行列を用いない).

このとき, 以下が成り立つことが知られている.

Cauchy-Binetの公式

$(m,n)$型行列$A$と$(n,m)$型行列$B$に対して,
\begin{align} \det(AB)&=\sum_{\substack{S\subset[n]\\|S|=m}}\det(A_S)\det(B^S) \end{align}
が成り立つ.

証明は探せばすぐに出てくるので, ここでは省略する.

$A_S^T:=(A_S)^T$と書くことにする. 1つ補題を用意する.

$m$次正方行列$C$に対し
\begin{align} \det(I_m+C)=\sum_{S\subset[m]}C_S^S \end{align}
が成り立つ.

$C=(c_{ij})_{1\leq i,j\leq m}$として, $\delta_{ij}$をKroneckerのデルタ, $\mathfrak{S}_m$を$m$次対称群とすると,
\begin{align} \det(I_m+C)&=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_m}\sgn(\sigma)(c_{1\sigma(1)}+\delta_{1\sigma(1)})\cdots(c_{m\sigma(m)}+\delta_{m\sigma(m)})\\ &=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_m}\sgn(\sigma)\sum_{S\subset \{i\in[m];i=\sigma(i)\}}\prod_{j\in [m]\setminus S}c_{j\sigma(j)}\\ &=\sum_{S\subset [m]}\sum_{\substack{\sigma\in\mathfrak{S}_m\\\sigma(i)=i\,\mathrm{if}\,i\in S}}\sgn(\sigma)\prod_{j\in [m]\setminus S}c_{j\sigma(j)} \end{align}
となる. ここで, 内側の和は$S$の元を固定するような$\mathfrak{S}_m$の元を渡る. それは$[m]\setminus S$の置換群$\mathfrak{S}([m]\setminus S)$の元と見なすことができ,
\begin{align} &\sum_{S\subset [m]}\sum_{\substack{\sigma\in\mathfrak{S}_m\\\sigma(i)=i\,\mathrm{if}\,i\in S}}\sgn(\sigma)\prod_{j\in [m]\setminus S}c_{j\sigma(j)}\\ &=\sum_{S\subset [m]}\sum_{\substack{\sigma\in\mathfrak{S}([m]\setminus S)}}\sgn(\sigma)\prod_{j\in [m]\setminus S}c_{j\sigma(j)}\\ &=\sum_{S\subset [m]}\sum_{\substack{\sigma\in\mathfrak{S}(S)}}\sgn(\sigma)\prod_{j\in S}c_{j\sigma(j)} &S\mapsto [m]\setminus S\\ &=\sum_{S\subset [m]}\det(C_S^S) \end{align}
となるので, 示すべき等式を得る.

対称的な表示

これらを用いることによって, 以下を示すことができる.

$(m,n)$型行列$A$と$(n,m)$型行列$B$に対して,
\begin{align} \det(I_m+AB)&=\sum_{\substack{S\subset [m]\\T\subset [n]\\|S|=|T|}}\det(A_T^S)\det(B^T_S) \end{align}
が成り立つ.

補題3より,
\begin{align} \det(I_m+AB)=\sum_{S\subset [m]}\det((AB)_S^S) \end{align}
である. ここで, 行列の積の定義から$(AB)_S^S=A^SB_S$となることから, Cauchy-Binetの公式より
\begin{align} \sum_{S\subset [m]}\det((AB)_S^S)&=\sum_{S\subset [m]}\det(A^SB_S)\\ &=\sum_{\substack{S\subset [m]\\T\subset [n]\\|S|=|T|}}\det(A^S_T)\det(B_S^T) \end{align}
となって示すべき等式を得る.

定理4は$A,B$に関して対称的な表示であることから,　特に
\begin{align} \det(I_m+AB)=\det(I_n+BA) \end{align}
を得ることができる.