10分で分かる基本群〜取り急ぎ版〜

閉区間$I=[0,1]$から$X$への連続写像$\omega :I\rightarrow X$が
$\omega (0)=x_0$かつ$\omega(1)=x_1$
となるとき$\omega$を$x_0$(←始点という)から$x_1$(←終点という)への道(path)という

$ω_1$:$x_0$から$x_1$への道
$ω_2$:$x_1$から$x_2$への道
とするとき、$ω_1 \cdot ω_2$:$x_0$から$x_1$を経由して、$x_2$に向かう道と定義します
具体的には
$ω_1 \cdot ω_2= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \omega_1 (2s)\text{　if　}0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\ \omega_2 (2s-1) \text{ if }\frac{1}{2} \leq s \leq 1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $
とすれば、$x_{0}$から$x_{2}$への道になります。

$X$上の関係$\sim$を以下で定義します
・$x\sim y \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \exists\omega$:$x$と$y$を結ぶ道
・この関係は同値関係になるのでその同値類を$X$の弧状連結成分という
・$X$の弧状連結成分が1つのとき、$X$を弧状連結という

$x$を始点、$y$を終点とする2つの道を考える
$\omega : I\rightarrow X,\omega(0)=x$かつ$\omega (1)=y$
$\omega' : I\rightarrow X,\omega'(0)=x$かつ$\omega'(1)=y$
に対して、
$\omega_{t}:I\rightarrow X$で$\omega_{0}=\omega$かつ$\omega_{1}=\omega'$となるもので、$I\times I\rightarrow X;(s,t)\mapsto\omega_{t}(s)$が連続である連続写像の族$\{\omega_{t}\}_{t\in I}$が存在するとき、
$\omega$と$\omega'$はホモトープといい、$\omega_{t}$をホモトピーという。このとき$\omega \simeq \omega'$と表す

・始点と終点が一致してるとき、その点を基点という
・また、$x=y$なる2つの道$\omega,\omega'$がホモトープであるとき、$\omega$と$\omega'$は基点$x$を固定してホモトープという

$\Omega(X,x)$:$x$を基点とするXの閉じた道全体の集合
・$\pi_{1}(X,x)\overset{\text{def}}{=}\Omega(X,x)/\simeq$:ホモトープによる同値類全体
この$\pi(X,x)$を$x$を基点とするXの基本群という
・$\pi(X.x)$の元$[\omega]$を$x$を基点とする閉じた道$\omega$のホモトピー類という

$G$を空でない集合
$\cdot$を$G\times G\rightarrow G$を$G$で閉じた演算とする
以下の3つの条件を満たす時、$(G,\cdot)$を群という
(1)$\forall x,y,z\in G, (x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$結合則
(2)$\exists e\in G$ s.t.$\forall x\in G,e\cdot x=x\cdot e=x$単位元
(3)$\forall x\in G,\exists y\in G$s.t.$x\cdot y=y\cdot x=e$逆元

$\forall x,y\in G, x\cdot y=y\cdot x$
を満たすとき$(G,\cdot)$を可換群もしくはAbel群という

基本群が自明な群であるとき、位相空間$X$を単連結という