微分方程式の級数解

はじめに

　この記事では二階微分方程式
$$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+p(x)\frac{du}{dx}+q(x)u=0\cdots (★)$$
のべき級数による解き方(フロベニウス法)について解説していきます。
　以下ではこの微分方程式の$x=0$周りでの解について考察していきます。

特性指数と級数解

確定特異点

　いま$p(x),q(x)$はそれぞれ$x=0$を高々$1,2$位の極に持つ、つまり
$$p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n{x}^{n-1},q(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_n{x}^{n-2}$$
とローラン展開できるものとする。このとき実際$p$または$q$が$x=0$を極に持っていれば$(★)$は$x=0$を確定特異点に持つと言い、単に$p,q$が$x=0$において正則であれば$(★)$は$x=0$を通常点に持つと言う。

級数解の求め方

　いま
$$u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^{n+\alpha }(a_0=1)$$
とおくと
$$\frac{u^{″}}{x^{\alpha -2}}+xp(x)\frac{u^{\prime }}{x^{\alpha -1}}+x^{2}q(x)\frac{u}{x^{\alpha }}=0$$
より係数比較から
$$a_n((\alpha +n)(\alpha +n-1)+p_0(\alpha +n)+q_0)+\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k(p_{n-k}(\alpha +k)+q_{n-k})=0$$
という関係式が得られる。特に$n=0$ときの式
$$\alpha (\alpha -1)+p_0\alpha +q_0=0$$
を$(★)$の$x=0$における決定方程式と言い、その解のことを特性指数と言う。
　いま$\alpha ,{\alpha }^{\prime }(\mathrm{Re}\alpha \ge \mathrm{Re}{\alpha }^{\prime })$を特性指数とし$F(t)=t(t-1)+p_{0}t+q_0$とおくと、漸化式
$$a_0=1,a_{n}F(\alpha +n)+\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k(p_{n-k}(\alpha +k)+q_{n-k})=0$$
によって$\alpha$に対応する級数解$u_{\alpha }$が得られることとなる。
　また$\alpha -{\alpha }^{\prime }\notin {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$つまり$F({\alpha }^{\prime }+n)\ne 0$であれば${\alpha }^{\prime }$に対応する級数解$u_{{\alpha }^{\prime }}$も得られ、$u_{\alpha },u_{{\alpha }^{\prime }}$は$x=0$周りにおける基本解をなすこととなる。

階数低減法

　しかし$\alpha -{\alpha }^{\prime }\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$のときは${\alpha }^{\prime }$に対応する級数解は得られないため、別の方法を考える必要がある。
　いま$u=u_{\alpha }v$とおいて$v$の満たす微分方程式について考えてみよう。すると
$$\begin{array}{rl}0& =u^{″}+p(x)u^{\prime }+q(x)u\\ & =(u_{\alpha }{v}^{″}+2u_{\alpha }^{\prime }{v}^{\prime }+u_{\alpha }^{″}v)+p(x)(u_{\alpha }{v}^{\prime }+u_{\alpha }^{\prime }v)+q(x)u_{\alpha }v\\ & =u_{\alpha }(v^{″}+(2\frac{u_{\alpha }^{\prime }}{u_{\alpha }}+p(x))v^{\prime })\end{array}$$
つまり
$$\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+(2\frac{u_{\alpha }^{\prime }}{u_{\alpha }}+p(x))\frac{dv}{dx}=0$$
と$v^{(0)}$の項を消去することができる。
　これによってこの微分方程式は
$$\begin{array}{rl}\log \frac{dv}{dx}& =-\int (2\frac{u_{\alpha }^{\prime }}{u_{\alpha }}+p(x))dx\\ & =-2\log u_{\alpha }-p_0\log x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_n}{n}{x}^n+C\end{array}$$
つまり
$$v=A+B\int \frac{x^{-p_0}}{u_{\alpha }^2}\exp (-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_n}{n}{x}^n)dx$$
と解けることになる。

級数表示

　さらに
$$g(x)={\left(\frac{x^{\alpha }}{u_{\alpha }(x)}\right)}^2\exp (-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_n}{n}{x}^n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_n{x}^n(g_0=1)$$
とおいたとき、$m=\alpha -{\alpha }^{\prime }$を非負整数としていたこと、および解と係数の関係から$1-p_0=\alpha +{\alpha }^{\prime }$が成り立つことに注意すると
$$\begin{array}{rl}v& =A+B\int x^{-p_0-2\alpha }g(x)dx\\ & =A+B\int x^{-m-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_n{x}^{n}dx\\ & =A+B(g_m\log x+\sum _{\begin{array}{c}n=1\\ n\ne m\end{array}}^{\mathrm{\infty }}\frac{g_n}{n-m}{x}^{n-m})\end{array}$$
と表せる。
　したがって$u=u_{\alpha }v$としていたことに注意すると$u_{\alpha }$と線形独立な解
$$\begin{array}{rl}{u}_{{\alpha }^{\prime }}(x)& =u_{\alpha }(x)(g_m\log x+\sum _{\begin{array}{c}n=0\\ n\ne m\end{array}}^{\mathrm{\infty }}\frac{g_n}{n-m}{x}^{n-m})\\ & =g_m{u}_{\alpha }(x)\log x+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_n{x}^{n+\alpha -m}\\ & =g_m{u}_{\alpha }(x)\log x+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_n{x}^{n+{\alpha }^{\prime }}\end{array}$$
が得られることとなる(特に$m\ne 0$であれば$h_0=-1/m$となることに注意する)。

まとめ

　$x=0$のまわりで
$$p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n{x}^{n-1},q(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_n{x}^{n-2}$$
というローラン展開を持つ係数を持つ微分方程式
$$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+p(x)\frac{du}{dx}+q(x)u=0$$
について以下が成り立つ。

おまけ

　いま微分演算子$\vartheta =x\frac{d}{dx}$に関する二階微分方程式
$${\vartheta }^{2}u+P(x)\vartheta u+Q(x)u=0$$
を考えると、$P,Q$は$x=0$周りで正則であるものとし
$$u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^{n+\alpha }$$
とおいたとき
$${\vartheta }^{k}u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(n+\alpha {)}^k{x}^{n+\alpha }$$
が成り立つので$x=0$における決定方程式は
$${\alpha }^2+P(0)\alpha +Q(0)=0$$
となる。
　実際のところこの微分方程式は
$$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\frac{P(x)+1}{x}\frac{du}{dx}+\frac{Q(x)}{x^2}u=0$$
と書き直せる。なるほど。