数列の極限　その1

$\lbrace a_n \rbrace$が正または負の無限大に発散するとき、$\lbrace a_n \rbrace$は発散する。

$\lbrace a_n \rbrace$が発散するが、正または負の無限大に発散しないとき、$\lbrace a_n \rbrace$は振動するという。

収束、正の無限大への発散、負の無限大への発散、振動はどの二つも同時には起こり得ない。

任意の実数列$\lbrace a_n \rbrace$について、$\lbrace a_n \rbrace$は収束するか、または正か負の無限大に発散するか、もしくは振動するかのいずれか一つのみが成り立つ。

$\lbrace a_n \rbrace$,$\lbrace b_n \rbrace$がそれぞれ$\alpha$,$\beta$$\in$$\mathbb{R}$に収束するとき、
(1)$\lim_{n \to \infty} \lbrace a_n+b_n \rbrace =$$\alpha+ \beta $
(2)$\lim_{n \to \infty}$$ ca_n $=$\alpha $ ($c \in \mathbb{R} $)
(3)$\lim_{n \to \infty}$$ a_nb_n $=$\alpha \beta $
$\beta≠0$のとき
(4)$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}= \frac{\alpha}{\beta} $
が成り立つ。

$\alpha, \beta $$\in$$\mathbb{R}$に対し
$\lim_{n \to \infty}a_n= \alpha $,$\lim_{n \to \infty}a_n= \beta $ならば$\alpha=\beta $

(1)収束実数列は有界である。
(2)$a_n→∞(-∞)⇒$$\lbrace a_n \rbrace$は上に(下に)有界でない。
(3)$\lbrace a_n \rbrace$が単調増加列のとき、(2)は逆も成り立つ。
(4)単調増加数列が上に有界な部分列を持てば元の数列も上に有界。

$\lim_{n \to \infty}a_n=∞$,$\lim_{n \to \infty}b_n=∞$のとき
(1)$\lim_{n \to \infty}ca_n= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ∞(c \gt 0) \\ -∞(c \lt 0) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
(2)$\lim_{n \to \infty} \lbrace a_n+c \rbrace =∞$($c \in \mathbb{R} $)
(3)$\lim_{n \to \infty} \lbrace a_n+b_n \rbrace =∞$
(4)$\lim_{n \to \infty}$$ a_nb_n $=∞
$\lbrace p_n \rbrace$が$p \in \mathbb{R} $に収束するとき
(5)$\lim_{n \to \infty}p_na_n= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ∞(p \gt 0) \\ -∞(p \lt 0) \end{array} \right. \end{eqnarray} $
(6)$\lim_{n \to \infty} \lbrace a_n+p_n \rbrace =∞$

$\lbrace a_n \rbrace$は振動し、$\lbrace p_n \rbrace$は$p\in \mathbb{R}$へ収束するものとする。このとき
(1)$\lbrace a_n+p_n \rbrace$は振動する。
(2)$p_n≠0,p≠0$のとき$\lbrace p_na_n \rbrace$は振動する。
が成り立つ。

値域が正の実数全体である全射実関数全体の集合を$\varGamma^{+} $,正の実数$m$について値域が$(0,m)$である全射実関数全体を$\varGamma^{+} _ {\lt m} $,$(0,m]$である全射実関数全体を$\varGamma^{+} _ {\leq m} $とする。このとき
$(1)\lbrace a_n \rbrace$が収束する
$\Longleftrightarrow$　$(2) \exists f \in \varGamma^{+}, \exists\alpha\in \mathbb{R}, \exists k,l \in \mathbb{N} , \forall a \in D(f) , \exists N \in \mathbb{N}_ \geq k , \forall n \in \mathbb{N}_ \geq l ,[n \gt N \Longrightarrow \left| a_n - \alpha \right| \lt f(a) ] $
$\Longleftrightarrow$　$(3) \exists f \in \varGamma^{+}, \exists\alpha\in \mathbb{R}, \exists k,l \in \mathbb{N} , \forall a \in D(f) , \exists N \in \mathbb{N}_ \geq k , \forall n \in \mathbb{N}_ \geq l ,[n \geq N \Longrightarrow \left| a_n - \alpha \right| \lt f(a) ] $
$\Longleftrightarrow$　$(4)\exists m \gt0,\exists f \in \varGamma^{+}_{\lt m}, \exists\alpha\in \mathbb{R}, \exists k,l \in \mathbb{N} , \forall a \in D(f) , \exists N \in \mathbb{N}_ \geq k , \forall n \in \mathbb{N}_ \geq l ,[n \gt N \Longrightarrow \left| a_n - \alpha \right| \lt f(a) ] $
$\Longleftrightarrow$
$(5)\exists m \gt0,\exists f \in \varGamma^{+}_{\lt m}, \exists\alpha\in \mathbb{R}, \exists k,l \in \mathbb{N} , \forall a \in D(f) , \exists N \in \mathbb{N}_ \geq k , \forall n \in \mathbb{N}_ \geq l ,[n \geq N \Longrightarrow \left| a_n - \alpha \right| \lt f(a) ] $
$\Longleftrightarrow$
$(6)\exists m \gt0,\exists f \in \varGamma^{+}_{\leq m}, \exists\alpha\in \mathbb{R}, \exists k,l \in \mathbb{N} , \forall a \in D(f) , \exists N \in \mathbb{N}_ \geq k , \forall n \in \mathbb{N}_ \geq l ,[n \gt N \Longrightarrow \left| a_n - \alpha \right| \lt f(a) ] $
$\Longleftrightarrow$
$(7)\exists m \gt0,\exists f \in \varGamma^{+}_{\leq m}, \exists\alpha\in \mathbb{R}, \exists k,l \in \mathbb{N} , \forall a \in D(f) , \exists N \in \mathbb{N}_ \geq k , \forall n \in \mathbb{N}_ \geq l ,[n \geq N \Longrightarrow \left| a_n - \alpha \right| \lt f(a) ] $

(1)(はさみうちの原理)
実数列$\lbrace a_n \rbrace$,$\lbrace b_n \rbrace$,$\lbrace c_n \rbrace$について、$\lbrace a_n \rbrace$,$\lbrace b_n \rbrace$がともに$\alpha\in \mathbb{R}$に収束し、十分大きい自然数$n$について$a_n \leq c_n \leq b_n$がなりたつとする。このとき$\lbrace c_n \rbrace$は$\alpha$に収束する。
(2)(追い出しの定理)
十分大きい自然数$n$について$a_n \leq b_n$かつ$a_n→∞$ならば$b_n→∞$が成り立つ。
(3)(比較定理)
十分大きい自然数$n$について$a_n\leq b_n$かつ$a_n→\alpha\in\mathbb{R},b_n→\beta\in\mathbb{R}$のとき$\alpha\leq \beta$
(4)((3)の系)
$a_n→\alpha$かつ$a_n→\beta$ならば$\alpha=\beta$

(1)$a_n>0$とする。このとき
$a_n→0⇔\frac{1}{a_n}→∞$
$a_n→∞⇔\frac{1}{a_n}→0$

(1)$a_n→\alpha\in\mathbb{R}\cup\lbrace ∞ \rbrace$のとき$\lbrace a_n \rbrace$の任意の広義部分列は添え字関数が∞へ発散するならば$\alpha$に収束する。
(2)$\lbrace a_n \rbrace$の有限個の広義部分列$f_1,f_2,...,f_m$がすべて同じ$\alpha\in\mathbb{R}$に収束し$\lbrace a_n \rbrace$=$\bigcup_{i = 1}^m f_i$を満たすとき元の数列$\lbrace a_n \rbrace$も$\alpha$に収束する。
(3)単調列は、添え字関数が∞へ発散するような収束広義部分列を含むならば収束しその広義部分列と同じ極限値を持つ。
(4)$a_n>0$かつ収束する部分列を持たないとする。このとき$a_n→∞$

数列の有限個の項を削除・追加あるいは値を変えて新たな数列をえたとする。これらの収束性は常に等しくなる。つまり、一方が収束すればもう一方も収束し、極限値は等しい。正または負の無限大、振動についても同様である。

以下の命題はすべて同値であり、成り立つ。
(1)(アルキメデスの原理)
$\forall a,b\in \mathbb{R}^+,\exists n\in\mathbb{N},s.t;an>b$
(2)
$ \lim_{n \to \infty}n=∞ $
(3)
$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$
(4)
$\lim_{n \to \infty}2^n=∞$
(5)
$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0$

コーシー列は収束する。

$I_n≔[a_n,b_n](n\in\mathbb{N})$かつ$I_{n+1}\subset I_n$とする。このとき
$ \lim_{n \to \infty} (b_n-a_n)=0 \Longrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R},[ \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n=\alpha \land \bigcap_{n = 1}^∞ [a_n,b_n]=\lbrace \alpha \rbrace]$

以下の命題はすべて同値であり、成り立つ。
(1)(ワイエルシュトラスの公理)
空でない、上に有界な$\mathbb{R}$の部分集合は上限を持つ。
(1)'
空でない、下に有界な$\mathbb{R}$の部分集合は下限を持つ。
(2)(連続の公理)
上に有界な単調増加数列は収束する。
(2)'
下に有界な単調減少数列は収束する。
(3)(ボルツァーノワイエルシュトラスの定理)
有界実数列は収束部分列をもつ。
(4)
アルキメデスの原理かつ区間縮小法
(5)
アルキメデスの原理かつコーシーの収束条件
(6)(デデキントの公理)
$A,B\in\mathbb{R},A \cup B=\mathbb{R},A \cap B= \varnothing , \forall a\in A,\forall b\in B,a< b$とする(このような組$(A,B)$を$\mathbb{R}$の切断という)。このとき次のどちらか一方が成り立つ。
(a)$A$の最大元は存在するが$B$の最小元は存在しない
(b)$A$の最大元は存在しないが$B$の最小元は存在する

(1)$S_1\subset S_2$で$S_2$が上に有界のとき$S_1$も上に有界で　　
　　　　　　　　　　$\sup S_1\leq \sup S_2$
(2)$S_1,S_2$が上に有界のとき$S_1+S_2$も上に有界で　　　　　　　　
　　　　　　　$\sup (S_1+S_2)=\sup S_1+\sup S_2$
(3)
　　(a)$k>0$のとき$S_1$が上に有界なら$kS_1$も上に有界で
　　　　　　　　　 $\sup kS_1=k\sup S_1$
　　(b)$k<0$のとき$S_1$が下に有界なら$kS_1$は上に有界で
　　　　　　　　　 $\sup kS_1=k\inf S_1$

$\alpha\in\mathbb{R}$に対し、以下はすべて同値である。
(1)$\limsup_{n\to\infty}a_n=\alpha$
(2)次が成り立つ。
　　　(a)$\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},[n\geq N \Longrightarrow a_n <\alpha + \varepsilon ]$
　　　(b)$\forall\varepsilon>0,\forall n\in\mathbb{N},\exists N\in\mathbb{N},s,t;[N\geq n \land \alpha - \varepsilon< a_N]$
(3)次が成り立つ。
　　　(c)$\lbrace a_n \rbrace$は上に有界である。
　　　(d)$\lbrace a_{n_k}\rbrace$を$\lbrace a_n \rbrace$の収束する任意の部分列とすると、　　　　
　　　　　$ \lim_{k \to \infty}a_{n_k}\leq \alpha$である。
　　　(e)$\alpha$に収束する$\lbrace a_n \rbrace$のある部分列が存在する。
下極限も同様である。

以下はすべて同値である。
(1)$\limsup_{n\to\infty}a_n=∞$
(2)$\forall M\in\mathbb{R},\forall n\in\mathbb{N},\exists N\in\mathbb{N},[N\geq n\land M< a_N]$
(3)∞に発散する$\lbrace a_n \rbrace$のある部分列が存在する。
下極限も同様である。

次の(1),(2)は同値である。
(1)$\lim_{n \to \infty}a_n$が存在する。
(2)$\limsup_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n$
このとき
$\lim_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n$