2F1の積の有限Hilbert変換
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で${}_2F_1$のモーメントの母関数の等式
\begin{align}
&\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\int_0^1\frac{\F21{a,b}{c}t\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-t}}{1-xt}\,dt\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\int_0^1\frac{\F21{1-a,1-b}{2-c}t\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-t}}{1-xt}\,dt\\
&=\F21{1-a,c-a}{1+b-a}{x}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{x}\sum_{k\in\ZZ}\frac 1{(c-a+k)(c-b+k)}
\end{align}
を示した. 今回はこれを用いて有限Hilbert変換
\begin{align}
&\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}PV\int_0^1\frac{\F21{a,b}{c}t\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-t}}{x-t}\,dt\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}PV\int_0^1\frac{\F21{1-a,1-b}{2-c}t\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-t}}{x-t}\,dt\qquad 0< x<1
\end{align}
を計算したいと思う. ここにおいて, $PV$は主値積分を意味する. まず$\Im(x)>0$としておくと,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\int_0^1\frac{\F21{a,b}{c}t\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-t}}{x-t}\,dt\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\int_0^1\frac{\F21{1-a,1-b}{2-c}t\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-t}}{x-t}\,dt\\
&=\frac 1x\F21{1-a,c-a}{1+b-a}{\frac 1x}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{\frac 1x}\sum_{k\in\ZZ}\frac 1{(c-a+k)(c-b+k)}
\end{align}
となる. ここで,
接続公式
\begin{align}
\frac 1{x^a}\F21{a,b}{c}{\frac 1x}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)\Gamma(c-a)}e^{-i\pi a}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-b)}e^{-i\pi b}x^{b-a}\F21{b,1+b-c}{1+b-a}{x}\\
\F21{a,1+a-c}{1+a+b-c}{1-x}&=\frac{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(1+b-c)\Gamma(b)}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}x\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(1+a-c)}x^{b-a}\F21{b,1+b-c}{1+b-a}x
\end{align}
より,
\begin{align}
&\frac 1{x^a}\F21{a,b}{c}{\frac 1x}\\
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)\Gamma(c-a)}e^{-i\pi a}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-b)}e^{-i\pi b}\frac{\Gamma(a)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(a-b)}\\
&\qquad\cdot\left(\F21{a,1+a-c}{1+a+b-c}{1-x}-\frac{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(1+b-c)\Gamma(b)}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}x\right)\\
&=\left(\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)\Gamma(c-a)}e^{-i\pi a}-\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+a-c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\Gamma(b)}e^{-i\pi b}\right)\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+a+b-c)}e^{-i\pi b}\F21{a,1+a-c}{1+a+b-c}{1-x}\\
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-a)\Gamma(1+a-c)}{\pi\Gamma(b)}\left(e^{-i\pi a}\sin\pi(c-a)-e^{-i\pi b}\sin\pi(c-b)\right)\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+a+b-c)}e^{-i\pi b}\F21{a,1+a-c}{1+a+b-c}{1-x}\\
\end{align}
ここで
\begin{align}
&e^{-i\pi a}\sin\pi(c-a)-e^{-i\pi b}\sin\pi(c-b)\\
&=\frac 1{2i}(e^{i\pi(c-2a)}-e^{i\pi(c-2b)})\\
&=e^{i\pi(c-a-b)}\sin\pi(b-a)
\end{align}
であるから以下を得る.
\begin{align}
&\frac 1{x^a}\F21{a,b}{c}{\frac 1x}\\
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(b)\Gamma(1+a-b)}e^{i\pi(c-a-b)}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+a+b-c)}e^{-i\pi b}\F21{a,1+a-c}{1+a+b-c}{1-x}
\end{align}
これを用いると,
\begin{align}
&\frac 1{x^{1-a}}\F21{1-a,c-a}{1+b-a}{\frac 1x}\\
&=\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(2-c)}e^{i\pi(a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+c-a-b)}e^{i\pi(a-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\frac 1{x^a}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{\frac 1x}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c)}e^{i\pi(c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+a+b-c)}e^{i\pi(c-a)}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac 1{x}\F21{1-a,c-a}{1+b-a}{\frac 1x}\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{\frac 1x}\\
&=\bigg(\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(2-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+c-a-b)}e^{-i\pi b}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\bigg)\\
&\qquad\cdot \bigg(\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c)}\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+a+b-c)}e^{i\pi b}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg)\\
&=\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(2-c)}\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+c-a-b)}\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c)}\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+c-a-b)}e^{-i\pi b}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+b-a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(2-c)}\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}{\Gamma(c-b)\Gamma(1+a+b-c)}e^{i\pi b}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&=\frac{\pi\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+b-a)}{\sin\pi b}\bigg(\frac{1}{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{1}{\Gamma(1+b-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{1}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}e^{-i\pi b}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{1}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}e^{i\pi b}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg)
\end{align}
これに
\begin{align}
\sum_{k\in\ZZ}\frac 1{(c-a+k)(c-b+k)}&=\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+b-a)}
\end{align}
を掛けて$\Im(x)\searrow 0$として実部を考えると, 以下を得る.
\begin{align} &\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}PV\int_0^1\frac{\F21{a,b}{c}t\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-t}}{x-t}\,dt\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}PV\int_0^1\frac{\F21{1-a,1-b}{2-c}t\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-t}}{x-t}\,dt\\ &=\frac{\pi}{\sin\pi b}\bigg(\frac{\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\ &\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-a)}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\cos\pi b}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\ &\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)\cos\pi b}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg) \end{align}
この左辺は$a,b$に関して対称である. 一方, 右辺${}_2F_1$の積の係数は$a,b$に関して対称ではない. これは予想外であったが, 一般の
\begin{align}
&\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}
\end{align}
は線形独立ではないようである. 定理1において$a,b$を入れ替えたものと比較すると,
\begin{align}
&\frac{\pi}{\sin\pi b}\bigg(\frac{\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-a)}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\cos\pi b}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)\cos\pi b}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg)\\
&=\frac{\pi}{\sin\pi a}\bigg(\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+b-c)\Gamma(c-b)}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\cos\pi a}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)\cos\pi a}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg)
\end{align}
つまり,
\begin{align}
0&=\frac{\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi a-\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\sin\pi b}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-a)\sin\pi a-\Gamma(1+b-c)\Gamma(c-b)\sin\pi b}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)(\sin\pi a\cos\pi b-\sin\pi b\cos\pi a)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)(\sin\pi a\cos\pi b-\sin\pi b\cos\pi a)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&=\frac{\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi a-\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\sin\pi b}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-a)\sin\pi a-\Gamma(1+b-c)\Gamma(c-b)\sin\pi b}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\sin\pi(a-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)\sin\pi(a-b)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi a-\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\sin\pi b\\
&=\frac 1{\pi}\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)(\sin\pi(c-a)\sin\pi a-\sin\pi(c-b)\sin\pi b)\\
&=\frac 1{2\pi}\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)(\cos\pi(c-2a)-\cos\pi(c-2b))\\
&=\frac 1{\pi}\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi(c-a-b)\sin\pi(a-b)\\
&\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-a)\sin\pi a-\Gamma(1+b-c)\Gamma(c-b)\sin\pi b\\
&=\frac 1{\pi}\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)(\sin\pi(c-b)\sin\pi a-\sin\pi(c-a)\sin\pi b)\\
&=\frac 1{2\pi}\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)(-\cos\pi(c-b+a)+\cos\pi(c-a+b))\\
&=\frac 1{\pi}\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi c\sin\pi(a-b)\\
\end{align}
であるから, これらを代入すると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi(c-a-b)}{\pi\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi c}{\pi\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&=0
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}\F21{a,b}{c}{x}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\\
&\qquad-\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&=-\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi(c-a-b)}{\pi\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi c}{\pi\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&=-\frac{\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\sin\pi(c-a-b)}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)\sin\pi(c-a)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\sin\pi c}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)\sin\pi(c-b)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}
\end{align}
となるからこれを定理1の右辺に代入すると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}PV\int_0^1\frac{\F21{a,b}{c}t\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-t}}{x-t}\,dt\\
&\qquad+\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}PV\int_0^1\frac{\F21{1-a,1-b}{2-c}t\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-t}}{x-t}\,dt\\
&=\frac{\pi}{\sin\pi b}\bigg(\frac{\Gamma(c-b)\Gamma(1+b-c)\cos\pi(c-a-b)\sin\pi b}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)\sin\pi(c-a)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(1+a-c)\sin\pi b\cos\pi c}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)\sin\pi(c-b)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg)\\
&=\frac{\pi^2}{\sin\pi(c-a)\sin\pi(c-b)}\bigg(\frac{\cos\pi(c-a-b)}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\
&\qquad+\frac{\cos\pi c}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg)
\end{align}
つまり, 以下を得る.
\begin{align} &\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}PV\int_0^1\frac{\F21{a,b}{c}t\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-t}}{x-t}\,dt\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)\Gamma(1+a+b-c)}PV\int_0^1\frac{\F21{1-a,1-b}{2-c}t\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-t}}{x-t}\,dt\\ &=\frac{\pi^2}{\sin\pi(c-a)\sin\pi(c-b)}\bigg(\frac{\cos\pi(c-a-b)}{\Gamma(2-c)\Gamma(c)}\F21{1-a,1-b}{2-c}x\F21{a,b}{c}{x}\\ &\qquad+\frac{\cos\pi c}{\Gamma(1+c-a-b)\Gamma(1+a+b-c)}\F21{1-a,1-b}{1+c-a-b}{1-x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\bigg) \end{align}
これは定理1と比較してかなりシンプルな形にまとまったと思う.
