[身内用] 複素Fourier展開の典型問題

とりあえず定義を思い出す：

しかしながら，このままだと今回は積分範囲の下端$t=-1/2$が$\hat{f}(t)$の定義域外となってしまい計算がめんどくさくなる．ここで，定義として次の定義も用いれるようにしよう．

これを用いると，少しは簡単に計算できるであろう．今，$\hat{f}(t)$の定義域は$0\le t<1$であるから，$a=0,b=1$に対応し，周期は$T=b-a=1-0=1$となる．よって，角周波数$\omega ={\displaystyle \frac{2n\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2n\pi }{1}}=2n\pi$となり，複素F係数$c_n$は次のように計算できる．
$$c_n={\displaystyle \frac{1}{1}}{\int }_0^1(A\sin \pi t)e^{-i(2n\pi )t}dt.$$

ところで，複素三角関数の知識を用いると$\sin \pi t={\displaystyle \frac{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}{2i}}$であるから，
$$\begin{array}{rl}{c}_n& =A{\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}{2i}}{e}^{-i2n\pi t}dt={\displaystyle \frac{A}{2i}}{\int }_0^1(e^{\pi it}{e}^{-i2n\pi t}-e^{-\pi it}{e}^{-i2n\pi t})dt\\ & ={\displaystyle \frac{A}{2i}}{\int }_0^1(e^{(1-2n)i\pi t}-e^{-(1+2n)i\pi t})dt\\ & ={\displaystyle \frac{A}{2i}}{[{\displaystyle \frac{e^{(1-2n)i\pi t}}{(1-2n)i\pi }}+{\displaystyle \frac{e^{-(1+2n)i\pi t}}{(1+2n)i\pi }}]}_0^1\\ & ={\displaystyle \frac{A}{2i}}\{{\displaystyle \frac{e^{(1-2n)i\pi }}{(1-2n)i\pi }}+{\displaystyle \frac{e^{-(1+2n)i\pi }}{(1+2n)i\pi }}-{\displaystyle \frac{1}{(1-2n)i\pi }}-{\displaystyle \frac{1}{(1+2n)i\pi }}\}\\ & ={\displaystyle \frac{A}{2i}}\{{\displaystyle \frac{e^{\pi i}{e}^{-2n\pi i}-1}{(1-2n)i\pi }}+{\displaystyle \frac{e^{-\pi i}{e}^{-2n\pi i}-1}{(1+2n)i\pi }}\}\end{array}$$

ここで，
$$\begin{array}{rl}& e^{\pi i}=\cos \pi +i\sin \pi =-1\\ & e^{-\pi i}=\cos (-\pi )+i\sin (-\pi )=-1\\ & e^{2n\pi i}=\cos \left(2n\pi \right)+i\sin \left(2n\pi \right)=1\\ & e^{-2n\pi i}=\cos (-2n\pi )+i\sin (-2n\pi )=1\end{array}$$
であるから，
$$\begin{array}{rl}{c}_n& ={\displaystyle \frac{A}{2i}}\{{\displaystyle \frac{-1\cdot 1-1}{(1-2n)i\pi }}+{\displaystyle \frac{-1\cdot 1-1}{(1+2n)i\pi }}\}\\ & =-{\displaystyle \frac{2A}{2i}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{i\pi }}\{{\displaystyle \frac{1}{1-2n}}+{\displaystyle \frac{1}{1+2n}}\}\\ & ={\displaystyle \frac{A}{\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{1+2n+1-2n}{(1-2n)(1+2n)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{1}{(1-2n)(1+2n)}}\end{array}$$

これより，複素F級数は，
$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i\omega t}={\displaystyle \frac{2A}{\pi }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{2n\pi it}}{(1-2n)(1+2n)}}$$