[身内用] 複素Fourier展開の典型問題
関数$\hat{f}(t)=A\sin\pi t\,(0\leq t<1)$を周期$T=1$で周期的に拡張した関数$f(t)=\hat{f}(t+nT)~(n\in\mathbb{Z})$の複素Fourier級数を求めよ．
とりあえず定義を思い出す：
周期$T$の周期関数$f(t)$に対して，角周波数$\omega=\dfrac{2n\pi}{T}$とするとき，
$$c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\omega t}dt\quad(n\in\mathbb{Z})$$
を$f(t)$の複素Fourier係数といい，これらを用いて表される(Laurent)級数：
$$\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i\omega t}$$
を$f(t)$の複素Fourier級数という．
しかしながら，このままだと今回は積分範囲の下端$t=-1/2$が$\hat{f}(t)$の定義域外となってしまい計算がめんどくさくなる．ここで，定義として次の定義も用いれるようにしよう．
$a\leq t< b$で定義された関数$\hat{f}(t)$を周期$T=b-a$で周期的に拡張した周期関数$f(t)$に対して，角周波数$\omega=\dfrac{2n\pi}{T}$とするとき，
$$c_n=\frac{1}{T}\int_{a}^{b}\hat{f}(t)e^{-i\omega t}dt\quad(n\in\mathbb{Z})$$
を$f(t)$の複素Fourier係数といい，これらを用いて表される(Laurent)級数：
$$\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i\omega t}$$
を$f(t)$の複素Fourier級数という．
これを用いると，少しは簡単に計算できるであろう．今，$\hat{f}(t)$の定義域は$0\leq t<1$であるから，$a=0,~b=1$に対応し，周期は$T=b-a=1-0=1$となる．よって，角周波数$\omega=\dfrac{2n\pi}{T}=\dfrac{2n\pi}{1}=2n\pi$となり，複素F係数$c_n$は次のように計算できる．
$$c_n=\dfrac{1}{1}\int_{0}^{1}(A\sin\pi t)e^{-i(2n\pi)t}dt.$$
ところで，複素三角関数の知識を用いると$\sin\pi t=\dfrac{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}{2i}$であるから，
$$\begin{aligned}
c_n&=A\int_0^1\dfrac{e^{i\pi t}-e^{-i\pi t}}{2i}e^{-i2n\pi t}dt=\dfrac{A}{2i}\int_0^1\left(e^{\pi it}e^{-i2n\pi t}-e^{-\pi it}e^{-i2n\pi t}\right)dt\\
&=\dfrac{A}{2i}\int_0^1\left(e^{(1-2n)i\pi t}-e^{-(1+2n)i\pi t}\right)dt\\
&=\dfrac{A}{2i}\left[\dfrac{e^{(1-2n)i\pi t}}{(1-2n)i\pi}+\dfrac{e^{-(1+2n)i\pi t}}{(1+2n)i\pi}\right]_0^1\\
&=\dfrac{A}{2i}\left\{\dfrac{e^{(1-2n)i\pi}}{(1-2n)i\pi}+\dfrac{e^{-(1+2n)i\pi}}{(1+2n)i\pi}-\dfrac{1}{(1-2n)i\pi}-\dfrac{1}{(1+2n)i\pi}\right\}\\
&=\dfrac{A}{2i}\left\{\dfrac{e^{\pi i} e^{-2n\pi i}-1}{(1-2n)i\pi}+\dfrac{e^{-\pi i}e^{-2n\pi i}-1}{(1+2n)i\pi}\right\}
\end{aligned}$$
ここで，
$$\begin{aligned}
&e^{\pi i}=\cos\pi+i\sin\pi=-1\\
&e^{-\pi i}=\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)=-1\\
&e^{2n\pi i}=\cos(2n\pi)+i\sin(2n\pi)=1\\
&e^{-2n\pi i}=\cos(-2n\pi)+i\sin(-2n\pi)=1\\
\end{aligned}$$
であるから，
$$\begin{aligned}
c_n&=\dfrac{A}{2i}\left\{\dfrac{-1\cdot1-1}{(1-2n)i\pi}+\dfrac{-1\cdot1-1}{(1+2n)i\pi}\right\}\\
&=-\dfrac{2A}{2i}\cdot\dfrac{1}{i\pi}\left\{\dfrac{1}{1-2n}+\dfrac{1}{1+2n}\right\}\\
&=\dfrac{A}{\pi}\cdot\dfrac{1+2n+1-2n}{(1-2n)(1+2n)}\\
&=\dfrac{2A}{\pi}\cdot\dfrac{1}{(1-2n)(1+2n)}
\end{aligned}$$
これより，複素F級数は，
$$\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i\omega t}=\dfrac{2A}{\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\dfrac{e^{2n\pi it}}{(1-2n)(1+2n)}$$
