【メモ】単因子論とジョルダン標準形

単因子論を用いたジョルダン標準形の存在証明について，メモしておきます．基本的に『代数の基礎』1を参考にしています．

設定と準備

$k$は代数閉体，$n$は正の整数とする．$A=(a_{ij})\in M_n(k)$のジョルダン標準形の存在を示す．$A$が定める$k$線形写像$k^n\to k^n$を$T$で表す．

$k$代数の準同型$k[x]\to M_n(k),x\mapsto A$を用いて$k^n$を$k[x]$加群とみなす．($f(x)\cdot \mathbf{x}:=f(A)\mathbf{x}$．右辺は行列と列ベクトルの積．)

次の命題は線形代数において基本的：

$k[x]$加群準同型を考える

ここからしばらくは$k[x]$加群に関する議論を行う．出てくる準同型も$k[x]$加群の準同型であることに注意する．

$k[x{]}^n$および$k^n$の元で，$i$番目の成分が$1$で残りの成分が$0$であるものをそれぞれ$e_i^{\prime },e_i$と書く．$e_i^{\prime }$を$e_i$に移す$k[x]$加群の準同型$\eta :k[x{]}^n\to k^n$を考える．

$j=1,...,n$に対して$f_j:=x{e}_j^{\prime }-{\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_{ij}{e}_i^{\prime }\in k[x{]}^n}$とおく．このとき，$\{f_1,...,f_n\}$は$\text{Ker}\eta$の$k[x]$加群としての基底である．(1命題3.2.20．)

さて，$e_j^{\prime }$を$f_j$に移す$k[x]$加群の準同型$\lambda :k[x{]}^n\to k[x{]}^n$を考える．すると次の$k[x]$加群の系列が完全系列になる：

ここで，$\lambda$の基底$\{e_1^{\prime },...,e_n^{\prime }\}$に関する表現行列は$x{I}_n-A$となる．上の完全系列により，$k[x]$加群としての同型$k^n\cong \text{Coker}\lambda$がある．

単因子論を用いる

$k[x]$加群としての同型$k^n\cong \text{Coker}\lambda$があることがわかったので，単因子論を用いて$\text{Coker}\lambda$を調べていく．$\lambda$は$k[x]$加群の準同型である．$k[x]$は$\text{PID}$なので，$k[x]$成分の行列$x{I}_n-A(=\lambda$の表現行列)に対して単因子論を用いることができる．

単因子論により，$d_1(x),...,d_s(x)\in k[x]$が存在して，

$x{I}_n-A\sim \mathrm{\Lambda }:=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 0& \ddots & & & & ⋮\\ ⋮& & 1& & & ⋮\\ ⋮& & & d_1(x)& & ⋮\\ ⋮& & & & \ddots & 0\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& d_s(x)\end{array}\right)$となる．

行列$\mathrm{\Lambda }$が表す$k[x]$加群の準同型$k[x{]}^n\to k[x{]}^n$もそのまま$\mathrm{\Lambda }$で表すとすると，$k[x]$加群として$\text{Coker}\lambda \cong \text{Coker}\mathrm{\Lambda }\cong {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}k[x]/d_i(x)}$となる．

各$k[x]/(d_i(x))$に対して中国式剰余定理を用いることで，${\alpha }_1,...,{\alpha }_t\in k$および$n_1,...,n_t\in \mathbb{N}$が存在して，

$\text{Coker}\mathrm{\Lambda }\cong {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{t}{⨁}}k[x]/((x-{\alpha }_j{)}^{n_j})}$

となる．($j_1\ne j_2$でも${\alpha }_{j_1}\ne {\alpha }_{j_2}$とは限らない．)

こうして，$k[x]$加群の同型$\varphi :k^n\to V:={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{t}{⨁}}k[x]/((x-{\alpha }_j{)}^{n_j})}$が存在することがわかった．

$k$線形写像に移る

ここで$k[x]$加群の話から$k$線形空間の話に移る．このパートが重要．

$\varphi$は$k[x]$加群の準同型なので，$f(x)\in k[x]$と$z\in k^n$に対して，

$\varphi (f(x)\cdot z)=f(x)\cdot \varphi (z)$が成立する．これは，写像

$k^n\to k^n,z\mapsto f(x)\cdot z$

を${\psi }_{f(x)}^{(1)}$と書き，写像

$V\to V,v\mapsto f(x)\cdot v$

を${\psi }_{f(x)}^{(2)}$と書くことにすると，次の可換図式が成立するということである：

ここで$f(x)=x$の場合を考える．

今，$z\in k^n$に対して，${\psi }_x^{(1)}(z)=x\cdot z=Az=T(z)$であるから，${\psi }_x^{(1)}=T$．よって，次の可換図式を得る：

ここで，$T,{\psi }_x^{(2)}$は$k$線形写像であり，$\varphi$は$(k[x]$加群の同型でもあったが$)k$線形同型でもあることに注意する．($\leftarrow$これが重要！)よって命題1により，$\psi :={\psi }_x^{(2)}$の表現行列がジョルダン標準形になるような$V$の($k$上の)基底を見つければいいことがわかる．

$\psi$を調べる

$\psi :V\to V$は，各$j$に対する

${\psi }_j:V_j:=k[x]/((x-{\alpha }_j{)}^{n_j})\to V_j,f(x)\mapsto xf(x)$

を集めたものであるから，${\psi }_j$の表現行列がジョルダン細胞になることを見れば十分である．$V_j$の基底$\{(x-a_j{)}^{n_j-1},...,x-{\alpha }_j,1\}$に対する${\psi }_j$の表現行列は次の通りサイズ$n_j$のジョルダン細胞になる：

こうして$V_j$たちの基底を集めて$V$の基底とすれば，$\psi$のその基底に関する表現行列は$J_1,...,J_t$を斜めに並べたものになり，ジョルダン標準形である．

よって命題1により$k^n$の基底をうまく取れば，$T$の表現行列をジョルダン標準形にできることがわかった．これは，正則行列$P\in G{L}_n(k)$が存在して$PA{P}^{-1}$がジョルダン標準形になることを意味する．