整数全体のうち素数・半素数の割合は0である

$q$をはじめから$r$番目までの素数の積$2\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot p_r$とする. このとき
$$\frac{\phi (q)}{q}=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})\cdots (1-\frac{1}{p_r})$$
である. この値を${\Pi }_r$とおく. ここで, 任意の正の整数$p$に対し$(1-1/p{)}^{-1}=\sum _{\nu \ge 0}1/p^{\nu }$であるから
$$\begin{array}{rl}{\Pi }_r^{-1}& ={(1-\frac{1}{2})}^{-1}{(1-\frac{1}{3})}^{-1}\cdots {(1-\frac{1}{p_r})}^{-1}\\ & =\left(\sum _{\nu \ge 0}\frac{1}{2^{\nu }}\right)\left(\sum _{\nu \ge 0}\frac{1}{3^{\nu }}\right)\cdots \left(\sum _{\nu \ge 0}\frac{1}{p_r}\right)\\ & =\sum _{{\nu }_1,{\nu }_2,\dots ,{\nu }_r\ge 0}\frac{1}{2^{{\nu }_1}{3}^{{\nu }_2}\cdots p_r^{{\nu }_r}}\end{array}$$
である. また, 最後の$2^{{\nu }_1}{3}^{{\nu }_2}\cdots p_r^{{\nu }_r}$は$p_r$以下の素数のみを素因子にもつもののすべてだから, $p_r$以下の整数すべてを含む. ゆえに
$${\Pi }_r^{-1}>\sum _{k=1}^{p_r}\frac{1}{k}\text{.}$$
$n\to \mathrm{\infty }$となるとき$p_r\to \mathrm{\infty }$だからこの右辺は正の無限大に発散し, それゆえ${\Pi }_r^{-1}\to \mathrm{\infty }$, ゆえに${\Pi }_r$は$0$に収束する. したがって$lim\phi (q)/q=lim{\Pi }_r=0$.

$q$をはじめから$r$個の素数の積とする ($r\ge 0$). このとき, $\epsilon >0$とすれば, $q$を十分大きくとることにより$\phi (q)/q<\epsilon$とすることができる.
$n$を任意の正整数とし, $n$を$q$で割った商を$s$, 余りを$t$とする:
$$n=sq+t,0\le t<q\text{.}$$
$n$以下の素数は, $2,3,5,\dots ,p_r$のいずれかか, $p_r$以下のどの素数でも割り切れないかのいずれかである. ゆえに, 区間$[1,q],[q+1,2q],\dots ,[(s-1)q+1,sq]$のそれぞれに含まれる$p_r$より大きい素数の数は高々$\phi (q)$である. したがって, $t<q$であることに注意すれば
$$\pi (n)<s\phi (q)+r+q$$
であることがわかる. そして, $sq<n$だから
$$\frac{\pi (n)}{n}<\frac{\phi (q)}{q}+\frac{r+q}{sq}\text{.}$$
ここで, 仮定により$\phi (q)/q<\epsilon$であり, $q\to \mathrm{\infty }$のとき$(r+q)/sq\to 0$だから$q$を十分大きくとれば$(r+q)/sq<\epsilon$とできる. よって$\pi (n)/n<2\epsilon$だから$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\pi (n)/n=0$である.

$n$が素数でないとする. すると, $n$以下の半素数は全て$pq$ ($2\le p\le \sqrt{n}\le q\le n$) の形だから
$$0\le {\pi }_{\ast }(n)\le \pi (\sqrt{n})[\pi (n)-\pi (\sqrt{n})]$$
であり, したがって${\pi }_{\ast }(n)/n\le \pi (\sqrt{n})\pi (n)/\sqrt{n}-[\pi (\sqrt{n}){]}^2/\sqrt{n}$である. そして, 定理の前半によりこれら2つの項はどちらも$0$に収束するから$0\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\pi }_{\ast }(n)/n\le 0-0=0$である.