文献あり

フェルマー点と等力点の鏡映における関係

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始めに

初投稿です。

全ての角が $120 °$ 未満である $△ A B C$ について
・ $△ A B C$ の第二フェルマー点を $P_{2}$ ,第一等力点を $P_{1}^{'}$ としたとき、
$△ P_{1}^{'} B C, △ P_{1}^{'} C A, △ P_{1}^{'} A B$ のそれぞれの第二フェルマー点と $P_{2}$ は、 $△ A B C$ の第一等力点を中心に同一円周上にある。
・ $△ A B C$ の第一フェルマー点を $P_{1}$ としたとき、
$△ P_{1}^{'} B C, △ P_{1}^{'} C A, △ P_{1}^{'} A B$ のそれぞれの第一フェルマー点と $P_{1}$ は、 $△ A B C$ の第一ナポレオン点を中心に同一円周上にある。

この命題は図形描画サイトでシフラー点のようなことができないか試していた時に偶然発見したものです。
~~有用性の欠片もないですね。~~

フェルマー点・等力点

$△ A B C$ において、
　三角形の外側に、正三角形 $B D C, C E A, A G F$ を書いたとき、
$A D, B E, C F$ は一点で交わりその点を「第一フェルマー点」と言う。
　三角形の内側に、同様にして出来た点を「第ニフェルマー点」と言う。
またそれぞれの等角共役点を「第一等力点」「第二等力点」と言う。

しかし、 $120 ° < ∠ A$ などのときは、 $P_{1}^{'}$ が $△ A B C$ から出てしまうので $120 °$ 未満の時と連続的になるように考える必要があります。なのでここでは $△ P_{1}^{'} B C, P_{1}^{'} C A, P_{1}^{'} A B$ のフェルマー点に新たな定義を採用します。

フェルマー点

上記の様に $D, E, F$ を取る。
それぞれ、円 $D B C, E C A, F A B$ と $P D, P E, P F$ の $D, E, F$ でない方の交点を $△ P_{1}^{'} B C, P_{1}^{'} C A, P_{1}^{'} A B$ の第一フェルマー点とする。

第二フェルマー点についても同様です。一般の点 $P$ における $△ D E F$ をCirclecevian triangleと呼ぶそうです。
フェルマー点の図示

証明

補題

第一等力点についていくつかの表し方をします。

三点 $A, B, C$ についてそれぞれ $B C, C A, A B$ についての3つのアポロニウスの円の交点は第一、第二等力点である。

$P_{1}$ を第一フェルマー点、 $P_{1}^{'}$ を第一等力点とする。
$△ A B C$ の外側に正三角形 $B D C, C E A, A F C$ を描く。
図2において等角共役の定義より $∠ P_{1}^{'} B C = ∠ P_{1} B A, ∠ P_{1}^{'} C B = ∠ A C F$
円周角の定理より $∠ P_{1} B C = ∠ A F C$
よって $△ A F C ∽ △ P_{1}^{'} B C$ であるので $P_{1}^{'} B : P_{1}^{'} C = A F : A C = A B : A C$ .
同様にして $P_{1}^{'} A : P_{1}^{'} C = C A : C B, P_{1}^{'} A : P_{1}^{'} B = C A : C B$ .
アポロニウスの円の定義より $P_{1}^{'}$ は3つのアポロニウスの円周上にある。

第二フェルマー点と第二等力点でも同様にして証明できます。

$A, B, C$ をそれぞれ $B C, C A, A B$ に対して鏡映した点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ と、
三角形の内側に正三角形 $B D^{'} C, C E^{'} A, A F^{'} B$ を書いたとき、
$A^{'} D^{'}, B^{'} E^{'}, C^{'} F^{'}$ は一点で交わりその点は $P_{1}^{'}$ である。

$A^{'} B : A^{'} C = A B : A C$ より $A^{'}$ もアポロニウスの円上にある。
$P^{'}$ は等力点なので $△ A B D \equiv △ A^{'} B D^{'}$ より $△ B C D^{'}$ は正三角形
$B, C$ も同様にして、 $△ B D^{'} C, △ C E^{'} A, △ A F^{'} B$ は正三角形となり定理の作図と一致する。

$△ P_{1}^{'} B C$ の第二フェルマー点は $P_{1}$ を $B C$ に対して鏡映した点である。

補題3より $P_{1}$ を $B C$ で鏡映させた点は $△ P_{1}^{'} B C$ の第二フェルマー点である。

本題

$△ A B C$ の第二フェルマー点 $P_{2}$ ,第一等力点 $P_{1}^{'}$ としたとき、
$△ P_{1}^{'} B C, △ P_{1}^{'} C A, △ P_{1}^{'} A B$ のそれぞれの第二フェルマー点と $P_{2}$ は、 $P_{1}^{'}$ を中心に同一円周上にある。

$△ P_{1}^{'} B C, △ P_{1}^{'} C A, △ P_{1}^{'} A B$ の第二フェルマー点をそれぞれ $P_{A}, P_{B}, P_{C}$ とする。
$∠ P_{A} P_{2} P_{C}$
$= ∠ P_{A} P_{2} B + ∠ P_{C} P_{2} B$
$= ∠ P_{A} F^{'} B + ∠ P_{C} D^{'} B$
$= ∠ P_{1} F B + ∠ P_{1} D B$
$= ∠ P_{1} F C + ∠ P_{1} C B$
$= 120 ° - ∠ B$

また、等角共役の性質より $△ P_{A} P_{B} P_{C}$ の外心は $P_{1}^{'}$ である。
$P_{1}$ の $B C, C A, A B$ に対する垂足をそれぞれ $G, H, I$ とすると
再び等角共役の性質より $A P_{1}^{'} ⊥ H I, C P_{1}^{'} ⊥ H G .$
中点連結定理より $H I / / P_{B} P_{C}, H G / / P_{A} P_{B} .$
したがって $A P_{1}^{'} ⊥ P_{B} P_{C}, C P_{1}^{'} ⊥ P_{B} P_{A} .$
$P_{B} P_{C}$ と $A P_{1}^{'}, P_{A} P_{B}$ と $C P_{1}^{'}$ の交点をそれぞれ $J, K$ とすると
$P_{1}^{'}, J, K, P_{B}$ は共円なので
$∠ P_{A} P_{B} P_{C}$
$= 180 ° - ∠ A P_{1}^{'} C$
$= 180 ° - (60 ° + ∠ B) (∵ △ A P_{1}^{'} C \equiv △ A B D)$
$= 120 ° - B .$

よって $∠ P_{A} P_{2} P_{C} = ∠ P_{A} P_{B} P_{C}$ なので
円周角の定理の逆より題意は示された。

追記

$A n t i g o n a l$ なるものがあるそうです。
参照の定義3を引用します。

Antigonal point

ある点 $P$ を $B C, C A, A B$ で鏡映した点をそれぞれ $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ とすると、
円 $A^{'} B C, B^{'} C A, C^{'} A B$ は一点で交わり、その点を $A n t i g o n a l p o i n t$ と言う。

$A n t i g o n a l p o i n t, A^{'}, B^{'}, C^{'}$ は共円でその中心は $P$ の等角共役点である。

(全て有向角で扱う。)
・円 $A^{'} B C, C^{'} A B$ の交点を $Q$ とすると、
$∠ C Q A = ∠ C Q B + ∠ B Q A = ∠ C A^{'} B + ∠ B C^{'} A = ∠ B P C + ∠ A P B = ∠ A P C = ∠ C B^{'} A$ より、
円 $A^{'} B C, B^{'} C A, C^{'} A B$ は一点で交わる。
・図8の構図と同様にして $P$ の等角共役点を $P^{'}$ とすれば、
$∠ A^{'} Q C^{'} = ∠ A^{'} Q B + ∠ B Q C^{'} = ∠ A^{'} C B + ∠ B A C^{'}$
$= ∠ B C P + ∠ P A B = ∠ A C P^{'} + ∠ P^{'} A C = ∠ A P^{'} C = ∠ A B^{'} C$
より $Q (A n t i g o n a l p o i n t), A^{'}, B^{'}, C^{'}$ は共円。

閑話休題。

$△ P_{1}^{'} B C, △ P_{1}^{'} C A, △ P_{1}^{'} A B$ のそれぞれの第一フェルマー点と $P_{1}$ は、
$△ A B C$ の第一ナポレオン点を中心に同一円周上にある。

$△ P_{1}^{'} B C$ の第一フェルマー点を $Q$ とする。
補題4より $P_{B}, P_{C}, P_{1}$ は $A$ を中心とし、同一円周上にある。
よって $∠ P_{B} A P_{C} = 2 ∠ A$ より $∠ P_{B} P_{1} P_{C} = 180 ° - ∠ A .$

また、 $A P_{C}$ と円 $P_{C} B Q P_{1}^{'}$ の、 $P_{C}$ でない方の交点を $L$ とすると、
$P_{C}$ の定義より $△ B P_{1}^{'} L$ は正三角形なので $P_{1}^{'} L = P_{1}^{'} B$
補題2より $A P_{1}^{'} : B P_{1}^{'} = b : a$
$∠ A P_{1}^{'} L = ∠ C + 60 ° - 60 ° = ∠ C$ より $△ A P_{1}^{'} L ∽ △ A B C$
したがって $∠ P_{1}^{'} Q P_{C} = ∠ A L P_{1} = ∠ B$
同様にして $∠ P_{1}^{'} Q P_{B} = ∠ C$
よって $∠ P_{B} Q P_{C} = ∠ B + ∠ C = 180 ° - ∠ A$ より
$P_{B}, P_{C}, P_{1}, Q$ は $A$ を中心とし、同一円周上にある。

また $P_{1}, Q$ は円 $B D C$ 上にあるので
$P_{1}, Q$ の垂直二等分線は $A$ と正三角形 $B D C$ の中心を通る。
$△ P_{1}^{'} C A, △ P_{1}^{'} A B$ の第一フェルマー点でも同様にして
それら3つの垂直二等分線は第一ナポレオン点で交わるので題意は示された。