内部圏(internal category)という圏の一般化について
はじめに
本稿では、圏$\mathbf{B}$への内部圏(category internal to $\mathbf{B}$)について解説する。内部圏とは、通常の小さい圏の概念を圏$\mathbf{B}$の内部で定式化したものである。$\mathbf{B}=\mathsf{Set}$のとき、$\mathsf{Set}$への内部圏は通常の小さい圏の概念に一致する。
本稿の構成は以下の通りである。まず
準備
では引き戻しの概念を復習し、
内部圏
でその定義を与える。さらに
函手
・
自然変換
へと議論を展開する。
準備
余スパン$A\xrightarrow{f}C\xleftarrow{g}B$の引き戻しとは、可換図式
\begin{xy}
\xymatrix{
P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\
A\ar[r]_{f}&C
}
\end{xy}
であって、以下の普遍性を満たすときいう:
任意の可換図式
\begin{xy}
\xymatrix{
Q\ar[r]^{\nu_2}\ar[d]_{\nu_1}&B\ar[d]^{g}\\
A\ar[r]_{f}&C
}
\end{xy}
に対して、一意的な射$\nu\colon q\to p$が存在して以下の図式が可換となる:
\begin{xy}
\xymatrix{
Q\ar@{-->}[rd]^{\nu}\ar@/_10pt/[rdd]_{\nu_1}\ar@/^10pt/[rrd]^{\nu_2}&&\\
&P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\
&A\ar[r]_{f}&C
}
\end{xy}
特に、任意の余スパン$A\xrightarrow{f}C\xleftarrow{g}B$が引き戻しを持つような圏を、引き戻しを持つ圏という。
以後、可換図式
\begin{xy}
\xymatrix{
P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\
A\ar[r]_{f}&C
}
\end{xy}
について、引き戻しの普遍性を満たすとき引き戻し四角形(pullback square)といい、
\begin{xy}
\xymatrix{
P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\
A\ar[r]_{f}&C\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}}
}
\end{xy}
と表すこととする。
内部圏
$\mathbf{B}$を引き戻しを持つ圏とする。
$\mathbf{B}$への内部圏(category internal to $\mathbf{B}$)とは、以下のデータからなる:
- 対象の集まりと呼ばれる対象$C_0\in\mathbf{B}$;
- 射の集まりと呼ばれる対象$C_1\in\mathbf{B}$;
- ソース(source)、ターゲット(target)と呼ばれる射$s,t\colon C_1\to C_0$;
- 単位射の割当(identity-assigning)と呼ばれる射$e\colon C_0\to C_1$;
- 合成(composition)と呼ばれる射$c\colon C_1\times_{C_0}C_1\to C_1$;
(ここで、$C_1\times_{C_0}C_1$は図式$C_1\xrightarrow{s}C_0\xleftarrow{t}C_1$の引き戻しである)
これらのデータは以下の公理を満たす:
- 恒等射のソースとターゲットに関する法則:
\begin{xy} \xymatrix{ C_0\ar[r]^{e}\ar[rd]_{\mathsf{id}}&C_1\ar[d]^{s}\\ &C_0 } \quad \xymatrix{ C_0\ar[r]^{e}\ar[rd]_{\mathsf{id}}&C_1\ar[d]^{t}\\ &C_0 } \end{xy} - 射の合成のソースとターゲットに関する法則:
\begin{xy} \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{c}\ar[d]_{\pi_0}&C_1\ar[d]^{s}\\ C_1\ar[r]_{s}&C_0 } \quad \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{c}\ar[d]_{\pi_1}&C_1\ar[d]^{t}\\ C_1\ar[r]_{t}&C_0 } \end{xy} - 射の合成に関する結合律:
\begin{xy} \xymatrix{ {(C_1\,\times_{C_0}\,C_1)\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[d]_{c\,\times_{C_0}\,\mathsf{id}}\ar[rr]^{\langle\pi_0\circ\pi_2,\,\pi_1\times_{C_0}\mathsf{id}\rangle}&&{C_1\,\times_{C_0}\,(C_1\,\times_{C_0}\,C_1)}\ar[d]^{\mathsf{id}\,\times_{C_0}\,c}\\ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]_{c}&C_1&{C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[l]^{c} } \end{xy} - 射の合成に関する単位律:
\begin{xy} \xymatrix{ {C_0\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{e\,\times_{C_0}\,\mathsf{id}}\ar[dr]_{\pi_9}&{C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[d]^{c}&{C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[l]_{\mathsf{id}\,\times_{C_0}\,e}\ar[dl]^{\pi_6}\\ &C_1& } \end{xy}
ただし、各射影$\pi_i$や誘導される射は以下の図式から定まる:
- \begin{xy} \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{\pi_1}\ar[d]_{\pi_0}&C_1\ar[d]^{s}\\ C_1\ar[r]_{t}&C_0\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}} } \end{xy}
- \begin{xy} \xymatrix{ {(C_1\,\times_{C_0}\,C_1)\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{\pi_3}\ar[d]_{\pi_2}&C_1\ar[d]^{s}\\ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]_{t\circ c}&C_0\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}} } \end{xy}
- \begin{xy} \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,(C_1\,\times_{C_0}\,C_1)}\ar[r]^{\pi_5}\ar[d]_{\pi_4}&{C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[d]^{s\circ c}\\ C_1\ar[r]_{t}&C_0\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}} } \end{xy}
- \begin{xy} \xymatrix{ {(C_1\,\times_{C_0}\,C_1)\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[rr]^{\pi_3}\ar[dd]_{\pi_2}\ar@{-->}[dr]^(.65){\pi_1\times_{C_0}\mathsf{id}}&&C_1\ar[d]^{\mathsf{id}}\\ &{C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{\pi_1}\ar[d]_{\pi_0}&C_1\ar[d]^{s}\\ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]_{\pi_1}&C_1\ar[r]_{t}&C_0\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}} } \end{xy}
- \begin{xy} \xymatrix{ {(C_1\,\times_{C_0}\,C_1)\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[dd]_{\pi_2}\ar@{-->}[dr]^(.65){\langle \pi_0\circ\pi_2,\,\pi_1\times_{C_1}\mathsf{id}\rangle}\ar@/^18pt/[rrd]^{\pi_1\times_{C_0}\mathsf{id}}&&\\ &{C_1\,\times_{C_0}\,(C_1\,\times_{C_0}\,C_1)}\ar[r]^{\pi_5}\ar[d]_{\pi_4}&{C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[d]^{s\circ c}\\ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]_{\pi_0}&C_1\ar[r]_{t}&C_0\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}} } \end{xy}
$\mathbf{B}=\mathsf{Set}$の場合
$\mathsf{Set}$における引き戻しは次のように計算される。
$\mathsf{Set}$における引き戻し
\begin{xy}
\xymatrix{
P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\
A\ar[r]_{f}&C\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}}
}
\end{xy}
は、
\begin{gather}
P=\{(a,b)\in A\times B\colon f(a)=g(b)\},\quad\pi_1(a,b)=a,\quad\pi_2(a,b)=b
\end{gather}
を満たす。
証明
図式
\begin{xy} \xymatrix{ P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\ A\ar[r]_{f}&C\ar@{}[lu]|{\mathup{(PB)}} } \end{xy}
の可換性は$P$の定め方から明らか。次に普遍性を示す。
可換図式
\begin{xy} \xymatrix{ Q\ar[r]^{\nu_2}\ar[d]_{\nu_1}&B\ar[d]^{g}\\ A\ar[r]_{f}&C } \end{xy}
を任意に取り固定する。
このとき、写像$\nu\colon Q\to P$を$\nu(q)=(\nu_1(q),\nu_2(q))$として定義する。
- 写像$\nu\colon Q\to P$のwell-defined性: 各$q\in Q$に対して$(\nu_1(q),\nu_2(q))\in P$であることを示せばよいが、定め方より明らか。
- 図式$\xymatrix@=18pt{ Q\ar@{-->}[rd]^{\nu}\ar@/_10pt/[rdd]_{\nu_1}\ar@/^10pt/[rrd]^{\nu_2}&&\\ &P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\ &A\ar[r]_{f}&C }$の可換性: 上記のwell-defined性ですでに示しているため明らか。
- 写像$\nu\colon Q\to P$の一意性: 可換図式
\begin{xy} \xymatrix{ Q\ar@{-->}[rd]^{\nu^\prime}\ar@/_10pt/[rdd]_{\nu_1}\ar@/^10pt/[rrd]^{\nu_2}&&\\ &P\ar[r]^{\pi_2}\ar[d]_{\pi_1}&B\ar[d]^{g}\\ &A\ar[r]_{f}&C } \end{xy}
を満たす$\nu^\prime\colon Q\to P$を任意に取り固定する。
このとき、$q\in Q$に対して$\nu^\prime(q)=(a,b)$とすると$\pi_i\circ\nu^\prime=\nu_i=\pi_i\circ\nu$より
\begin{gather} a=\pi_1(a,b)=\pi_1\circ\nu^\prime(q)=\pi_1\circ\nu(q)=\nu_1(q) \\ b=\pi_2(a,b)=\pi_2\circ\nu^\prime(q)=\pi_2\circ\nu(q)=\nu_2(q) \end{gather}
なため$\nu^\prime(q)=(\nu_1(q),\nu_2(q))=\nu(q)$となる。
したがって、$\nu^\prime=\nu$となる。
この命題より、内部圏の定義における引戻し(i)を具体的に計算すると
(R1) $C_1\times_{C_0}C_1=\{(g,f)\in C_1\times C_1\colon t(f)=s(g)\}$
となるため、合成写像$c\colon C_1\times_{C_0}C_1\to C_1$は二項演算のように表記できる。以後、$(g,f)\in C_1\times_{C_0}C_1$に対して$c(g,f)=g\circ f$と表すこととする。
このとき、内部圏の定義における各引戻しなどを具体的に計算すると以下のようになる:
(R1)
\begin{gather}
C_1\times_{C_0}C_1=\{(g,f)\in C_1\times C_1\colon t(f)=s(g)\}
,\quad
\pi_0(g,f)=f
,\quad
\pi_1(g,f)=g,
\end{gather}
(R2)
\begin{gather}
(C_1\times_{C_0}C_1)\times_{C_0}C_1=\{(h,(g,f))\in C_1\times C_1\times C_1\colon s(h)=t(g\circ f)\}
,\quad
\pi_2(h,(g,f))=(g,f)
,\quad
\pi_3(h,(g,f))=h
\end{gather}
(R3)
\begin{gather}
C_1\times_{C_0}(C_1\times_{C_0}C_1)=\{((h,g),f)\in C_1\times C_1\times C_1\colon s(h\circ g)=t(f)\}
,\quad
\pi_4((h,g),f)=f
,\quad
\pi_5((h,g),f)=(h,g)
\end{gather}
(R4)
\begin{gather}
(\pi_1\times_{C_0}\mathsf{id})(h,(g,f))=(h,g)
\end{gather}
(R5)
\begin{gather}
\langle \pi_0\circ\pi_2,\,\pi_1\times_{C_1}\mathsf{id}\rangle(h,(g,f))=((h,g),f)
\end{gather}
また、単位射の割当$e\colon C_0\to C_1$を$e(a)=1_a$とすると、内部圏の公理は以下のように書き換えられる。
- $a\in C_0$に対して$s(1_a)=a$かつ$t(1_a)=a$,
- $(g,f)\in C_1\times_{C_0}C_1$に対して$s(g\circ f)=s(f)$かつ$t(g\circ f)=t(g)$,
- $(h,(g,f))\in(C_1\times_{C_0}C_1)\times_{C_0}C_1$に対して$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$,
- $(f,a)\in C_0\times_{C_0}C_1$に対して$f\circ 1_a=f$, $(b,f)\in C_1\times_{C_0}C_0$に対して$1_b\circ f=f$
函手
$\mathbf{B}$を引き戻しを持つ圏とする。
内部圏からの函手(functor internal to $\mathbf{B}$)とは、以下のデータからなる:
- 対象の写像(object map)と呼ばれる射$F_0\colon C_0\to D_0$;
- 射の写像(morphism map)と呼ばれる射$F_1\colon C_1\to D_1$;
これらのデータは以下の公理を満たす:
- 対象の写像とソース、ターゲットに関する法則:
\begin{xy} \xymatrix{ C_1\ar[r]^{F_1}\ar[d]_{s}&D_1\ar[d]^{s}\\ C_0\ar[r]_{F_0}&D_0 } \quad \xymatrix{ C_1\ar[r]^{F_1}\ar[d]_{t}&D_1\ar[d]^{t}\\ C_0\ar[r]_{F_0}&D_0 } \end{xy} - 対象の写像と単位射の割当に関する法則:
\begin{xy} \xymatrix{ C_0\ar[r]^{e}\ar[d]_{F_0}&C_1\ar[d]^{F_1}\\ D_0\ar[r]_{e}&D_1 } \end{xy} - 対象の写像と合成に関する法則:
\begin{xy} \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{F_1\,\times_{D_0}\,F_1}\ar[d]_{c}&{D_1\,\times_{D_0}\,D_1}\ar[d]^{c}\\ C_1\ar[r]_{F_1}&D_1 } \end{xy}
自然変換
$\mathbf{B}$を引き戻しを持つ圏とする。
内部圏間の自然変換(natural transformation internal to $\mathbf{B}$)とは、以下のデータからなる:
- 射の写像(morphism map)と呼ばれる射$\eta\colon C_0\to D_1$;
これらのデータは以下の公理を満たす:
- ソースとターゲットに関する法則:
\begin{xy} \xymatrix{ C_0\ar[r]^{\eta}\ar[d]_{s}&D_1\ar[d]^{s}\\ C_0\ar[r]_{e}&C_1 } \quad \xymatrix{ C_0\ar[r]^{\eta}\ar[d]_{t}&D_1\ar[d]^{t}\\ C_0\ar[r]_{e}&C_1 } \end{xy} - 合成に関する法則:
\begin{xy} \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{c}\ar[d]_{\eta\,\times_{C_0}\,e}&C_1\ar[d]^{\eta}\\ C_0\ar[r]_{\eta}&D_1 } \end{xy}
\begin{xy} \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{c}\ar[d]_{e\,\times_{C_0}\,\eta}&C_1\ar[d]^{\eta}\\ C_0\ar[r]_{\eta}&D_1 } \end{xy}
\begin{xy} \xymatrix{ {C_1\,\times_{C_0}\,C_1}\ar[r]^{c}\ar[d]_{\eta\,\times_{C_0}\,\eta}&C_1\ar[d]^{\eta}\\ C_0\ar[r]_{\eta}&D_1 } \end{xy}
おわりに
本稿では、引き戻しを持つ圏$\mathbf{B}$への内部圏・内部函手・内部自然変換の定義を与えた。$\mathbf{B}=\mathsf{Set}$の場合にこれらの定義が通常の小さい圏・函手・自然変換の概念に一致することは、各定義における図式の可換性を集合論的に解釈することで確認できる。
内部圏の理論はさらに以下のような方向に展開される:
- 内部圏のなす2-圏: $\mathbf{B}$への内部圏・内部函手・内部自然変換は、それぞれ2-圏$\mathbf{Cat}(\mathbf{B})$の0-セル・1-セル・2-セルをなす。
- 脈体定理(Nerve theorem): 内部圏と単体的対象の関係を記述する定理であり、ホモトピー論との接続を与える。
- トポスにおける内部圏: $\mathbf{B}$がトポスである場合、内部圏の理論は層の理論や論理との深い結びつきを持つ。
