Papanikolas-Rogers-Samartの恒等式
以下のような恒等式が知られている.
\begin{align} \sum_{0< n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}n}+\sum_{0\leq n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}\left(n+\frac 12\right)}=8\ln 2-\frac{28\zeta(3)}{\pi^2} \end{align}
今回はこの等式に超幾何級数の変換公式を用いた証明を与えたいと思う.
${}_7F_6$の二項変換公式(
前の記事
の定理2)より
\begin{align}
\F76{\frac 12,\frac 54,x,\frac 12-x,\frac 12,\frac 12,\frac 12}{\frac 14,\frac 32-x,1+x,1,1,1}{1}&=\frac{8}{\pi^2}\F76{1,\frac 32,x+\frac 12,1-x,1,\frac 12,\frac 12}{\frac 12,\frac 32-x,1+x,1,\frac 32,\frac 32}1\\
&=\frac{8}{\pi^2}\F43{1,x+\frac 12,1-x,\frac 12}{\frac 32-x,1+x,\frac 32}1\\
&=\frac{8}{\pi^2}\sum_{0\leq n}\frac{\left(x+\frac 12,1-x\right)_n}{(2n+1)\left(\frac 32-x,1+x\right)_n}
\end{align}
となる. 一方, 左辺は
\begin{align}
\F76{\frac 12,\frac 54,x,\frac 12-x,\frac 12,\frac 12,\frac 12}{\frac 14,\frac 32-x,1+x,1,1,1}{1}&=x\left(\frac 12-x\right)\sum_{0\leq n}\frac{(4n+1)\binom{2n}n^4}{2^{8n}(n+x)\left(n+\frac 12-x\right)}\\
&=2x\left(\frac 12-x\right)\left(\sum_{0\leq n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}(n+x)}+\sum_{0\leq n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}\left(n+\frac 12-x\right)}\right)
\end{align}
となるので,
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}(n+x)}+\sum_{0\leq n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}\left(n+\frac 12-x\right)}&=\frac 1x\left(\frac{4}{\pi^2}\sum_{0\leq n}\frac{\left(x+\frac 12,1-x\right)_n}{(2n+1)(1+x)_n\left(\frac 12-x\right)_{n+1}}-1\right)
\end{align}
を得る. ここで, $x\to 0$とすると,
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}n}+\sum_{0\leq n}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}\left(n+\frac 12\right)}&=\lim_{x\to0}\frac{4}{\pi^2}\frac{d}{dx}\sum_{0\leq n}\frac{\left(x+\frac 12,1-x\right)_n}{(2n+1)(1+x)_n\left(\frac 12-x\right)_{n+1}}\\
&=\frac{2}{\pi^2}\sum_{0\leq n}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^2}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+\sum_{k=0}^{n}\frac 1{k+\frac 12}-2\sum_{k=1}^n\frac 1k\right)
\end{align}
ここで,
Dixonの和公式
より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(x+\frac 12\right)_n}{(2n+1)\left(\frac 12-x\right)_{n+1}}&=\frac 1{\frac 12-x}\F32{1,\frac 12,\frac 12+x}{\frac 32,\frac 32-x}1\\
&=\frac 1{\frac 12-x}\frac{\Gamma\left(\frac 32\right)^2\Gamma\left(\frac 32-x\right)\Gamma\left(\frac 12-x\right)}{\Gamma\left(1-x\right)^2}\\
&=\frac{\pi\Gamma\left(\frac 12-x\right)^2}{4\Gamma\left(1-x\right)^2}
\end{align}
であることから両辺を$x$で微分してから$x=0$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^2}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+\sum_{k=0}^{n}\frac 1{k+\frac 12}\right)=2\pi^2\ln 2
\end{align}
を得る. また,
Gaussの超幾何定理の系
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac 1{(n+x)^2}\sum_{k=1}^n\frac 1k=(\gamma+\psi(x))\psi'(x)-\frac 12\psi''(x)
\end{align}
において$x=\frac 12$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac 1{\left(n+\frac 12\right)^2}\sum_{k=1}^n\frac 1k=-\pi^2\ln 2+7\zeta(3)
\end{align}
も得られる. よって,
\begin{align}
\frac{2}{\pi^2}\sum_{0\leq n}\frac{1}{\left(n+\frac 12\right)^2}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+\sum_{k=0}^{n}\frac 1{k+\frac 12}-2\sum_{k=1}^n\frac 1k\right)&=\frac{2}{\pi^2}\left(4\pi^2\ln 2-14\zeta(3)\right)\\
&=8\ln 2-\frac{28\zeta(3)}{\pi^2}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
類似
以下のような類似も知られている.
\begin{align} \sum_{0< n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}n}+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}\left(n+\frac 12\right)}=6\ln 2-\frac{8\beta(2)}{\pi} \end{align}
これに関しても定理1の証明と同じように示すことができる.
${}_7F_6$の二項変換公式(
前の記事
の定理2)において, $f\to\infty$とした等式を用いると,
\begin{align}
\F65{\frac 12,\frac 54,x,\frac 12-x,\frac 12,\frac 12}{\frac 14,\frac 32-x,1+x,1,1}{-1}&=\frac{4}{\pi}\F65{1,\frac 32,x+\frac 12,1-x,1,\frac 12}{\frac 12,\frac 32-x,1+x,1,\frac 32}{-1}\\
&=\frac{4}{\pi}\F32{1,x+\frac 12,1-x}{\frac 32-x,1+x}{-1}\\
&=\frac{4}{\pi}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\left(x+\frac 12,1-x\right)_n}{\left(\frac 32-x,1+x\right)_n}
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
\F65{\frac 12,\frac 54,x,\frac 12-x,\frac 12,\frac 12}{\frac 14,\frac 32-x,1+x,1,1}{-1}&=2x\left(\frac 12-x\right)\left(\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}(n+x)}+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}\left(n+\frac 12-x\right)}\right)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}(n+x)}+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}\left(n+\frac 12-x\right)}&=\frac 1x\left(\frac{2}{\pi}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\left(x+\frac 12,1-x\right)_n}{\left(1+x\right)_n\left(\frac 12-x\right)_{n+1}}-1\right)
\end{align}
を得る. ここで, $x\to 0$とすると,
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}n}+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}\left(n+\frac 12\right)}&=\frac{2}{\pi}\lim_{x\to 0}\frac{d}{dx}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\left(x+\frac 12,1-x\right)_n}{\left(1+x\right)_n\left(\frac 12-x\right)_{n+1}}\\
&=\frac{2}{\pi}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+\sum_{k=0}^{n}\frac 1{k+\frac 12}-2\sum_{k=1}^n\frac 1k\right)
\end{align}
となる. ここで, Kummerの和公式より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\left(x+\frac 12\right)_n}{\left(\frac 12-x\right)_{n+1}}&=\frac 1{\frac 12-x}\F21{1,x+\frac 12}{\frac 32-x}{-1}\\
&=\frac 1{\frac 12-x}\frac{\Gamma\left(\frac 32\right)\Gamma\left(\frac 32-x\right)}{\Gamma(1-x)}\\
&=\frac{\sqrt{\pi}}2\frac{\Gamma\left(\frac 12-x\right)}{\Gamma(1-x)}
\end{align}
であるから, 両辺を$x$で微分して$x=0$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+\sum_{k=0}^{n}\frac 1{k+\frac 12}\right)=\pi\ln 2
\end{align}
を得る. また, Eulerの変換公式より
\begin{align}
\F21{x,\frac 12}{\frac 32}{-1}&=2^{1-x}\F21{\frac 32-x,1}{\frac 32}{-1}
\end{align}
だから,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(x)_n}{n!\left(n+\frac 12\right)}=2^{2-x}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\left(\frac 32-x\right)_n}{\left(\frac 32\right)_n}
\end{align}
となる. ここで, 両辺を$x$に関して微分して$x=1$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\sum_{k=1}^n\frac 1k&=-2\ln 2\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{2n+1}-2\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}\\
&=-\frac{\pi}2\ln 2-\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}
\end{align}
を得る. 先ほど示した式より,
\begin{align}
\pi\ln 2&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+\sum_{k=0}^{n}\frac 1{k+\frac 12}\right)\\
&=2\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{\left(n+\frac 12\right)^2}\\
&=2\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}+4\beta(2)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k+\frac 12}&=\frac{\pi}2\ln 2-2\beta(2)
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+\frac 12}\sum_{k=1}^n\frac 1k&=2\beta(2)-\pi\ln 2
\end{align}
を得る. これより,
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}n}+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{6n}\left(n+\frac 12\right)}&=\frac{2}{\pi}\left(3\pi\ln 2-4\beta(2)\right)\\
&=6\ln 2-\frac{8\beta(2)}{\pi}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
