非整数階微分作用素の入ったシャッフル積について

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こんにちは、itouです。今回は前回の最後で触れた式に関して進展があったので、解説していきます。

非整数階微分演算子

微分作用素$\frac{d}{dx} $に対し、$(\frac{d}{dx})^{\frac{1}{2}} $という作用を考えることはできるでしょうか。この疑問に答えるのが分数階微積分学（fractional calculus）です。まず、整数$n$,関数$f(x)=x^k$に対して、
\begin{multline} \begin{split} f^{(n)}(x)=\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n} \end{split} \end{multline}
です。階乗をガンマ関数に置き換え、
\begin{multline} \begin{split} f^{(a)}(x)=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a} \end{split} \end{multline}
ここで$a$は実数とします。これを

非整数階微分演算子

\begin{multline} \begin{split} D^a x^k=\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a} \end{split} \end{multline}

と書きます。この作用素の基本的な性質は以下の通りです。

$f,g$は関数,$a,c$は定数.

\begin{multline} \begin{split} &D^a (f+g)=D^a (f)+D^a (g)\\ &D^a (cf)=cD^a (f)\\ &D^a (fg)=\sum_{j=0}^{∞}{ a \choose j}D^j(f)D^{a-j}(g)\\ \end{split} \end{multline}

上二つは当然成立してほしいので、うれしいです。三つ目は積の微分法則の一般化です。一般化二項定理と同じ形ですね。

ここで紹介したのはリーマン-リウヴィル分数階微分積分と呼ばれるものですが、ほかにも非整数階微分作用素の定義があるようです。また、この作用素の厳密な定義は文献[1]（Product_rule_for_vector_fractional_derivatives）を参考にしてください。

シャッフル積分

さて、この作用素を使ったシャッフル積を考えてみましょう。$a$階積分を$\int f(x)dx^a$と表します。（シャッフル積分も同様）前回と同様に、$\mu$階積分について
（$M$は操作前の$t$の次数）

$\varepsilon(t)dt^{\mu}◦$	$M$の変化	係数に乗じられる式
$\frac{dt^{\mu}}{t^a}◦$	$M→M-a+\mu$	$\frac{\Gamma(M-a+1)}{\Gamma(M-a+\mu+1)}$
上で$a=\mu$のとき	$M→M$	$\frac{\Gamma(M+1-\mu)}{\Gamma(M+1)}$
$\frac{t^adt^{\mu}}{1-t}◦$	$M→M+m_i+a+\mu$	$\frac{\Gamma(M+m_i+a+1)}{\Gamma(M+m_i+a+\mu+1)}$
上で$a=1-\mu$のとき	$M→M+m_i+1$	$\frac{\Gamma(M+m_i+2-\mu)}{\Gamma(M+m_i+2)}$

を得ます。これより、
\begin{multline} \begin{split} &\int_0^1 \underbrace{\frac{dt^{\mu}}{t^{\mu}}◦…◦\frac{dt^{\mu}}{t^{\mu}}}_{k_1-1 \text{ 個}}◦\frac{t^{1-\mu}dt^{\mu}}{1-t}◦\underbrace{\frac{dt^{\mu}}{t^{\mu}}◦…\frac{dt^{\mu}}{t^{\mu}}}_{k_{2}-1 \text{ 個}}◦\frac{t^{1-\mu}dt^{\mu}}{1-t}◦…◦\underbrace{\frac{dt^{\mu}}{t^{\mu}}◦…\frac{dt^{\mu}}{t^{\mu}}}_{k_a-1 \text{ 個}}◦\frac{t^{1-\mu}dt^{\mu}}{1-t}\\ &=\sum_{m_1 >m_2>…>m_a>0} \left(\frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\right)^{k_{1}} \left(\frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\right)^{k_{2}} … \left(\frac{\Gamma(m_a+1-\mu)}{\Gamma(m_a+1)}\right)^{k_{a}} \end{split} \end{multline}

を得ます。さて、多重ポリログの一般化を定義します。

多重ポリログの一般化

\begin{multline} \begin{split} F^{\mu}_\mathbf k(z):=\sum_{m_1>m_2>…>m_a>0}\left(\frac{\Gamma(\mathbf m +1-\mu)}{\Gamma(\mathbf m +1)}\right)^\mathbf k z^{m_1} \end{split} \end{multline}

（この記事ではインデックスは左向き）
$\mu=1$で多重ポリログに一致します。次の補題が成立します。

\begin{multline} \begin{split} \left(\frac{d}{dx}\right)^{\mu} F^{\mu}_ {{k_1},{k_2},…,{k_a}}(z) \end{split} \end{multline}

\begin{equation} =\left\{ \, \begin{aligned} & \frac{z^{1-\mu}}{1-z} F^{\mu}_ {{k_2},…,{k_a}}(z)(k_1=1)\\ & \frac{1}{z^{\mu}} F^{\mu}_ {{k_1-1},{k_2},…,{k_a}}(z) (k_1>1)\\ \end{aligned} \right. \end{equation}

（多重ポリログの場合と同様に示せます）
MZV同様のシャッフル積を入れたいのですが、$a\ne1$のとき、次は成立しません。

誤った式：
\begin{multline} \begin{split} D^a(fg)=(D^af)g+f(D^ag) \end{split} \end{multline}

そのため、通常の積についてはシャッフル積が入りません。そこで、次の演算を導入します。

演算$⊛^{\mu}$

\begin{multline} \begin{split} f⊛^{\mu}g=D^{-\mu}f(D^{\mu}g)+D^{-\mu}g(D^{\mu}f) \end{split} \end{multline}

$f⊛^{1}g =D^{-1}f(D^{1}g)+D^{-1}g(D^{1}f)=D^{-1}(D^{1}(fg))=fg$です。
この演算についてシャッフル積が入ります。すなわち、

$w_1,…,w_k,w'_1,…,w'_{k'}$を$ \frac{dt^{\mu}}{t^{\mu}}$または$\frac{t^{1-\mu}dt^{\mu}}{1-t} $,ただし$ w_k=w'_{k'}=\frac{t^{1-\mu}dt^{\mu}}{1-t}$とするとき,$|z|<1$について以下が成立.
\begin{multline} \begin{split} \Big( \int_{0}^{z}w_1◦…◦w_k\Big)⊛^{\mu}\Big( \int_{0}^{z}w_1'◦…◦w'_{k'}\Big)=\sum_{(\eta_1,…,\eta_{k+k'})}\Big( \int_{0}^{z}\eta_1◦…◦\eta_{k+k'}\Big) \end{split} \end{multline}
ただし$\sum_{(\eta_1,…,\eta_{k+k'})} $は$\eta_1,…,\eta_{k+k'} $のシャッフル全体についての和.

証明）
$k+k'$についての帰納法で示す.$k+k'=2$,つまり$k=k'=1$のときは,
$D^{\mu}(F_1(z)⊛^{\mu}F_1(z))=2\frac{z^{1-\mu}}{1-z}F_1(z)=2D^{\mu}F_{1,1}(z)$より、
$ F_1(z)⊛^{\mu}F_1(z)=2F_{1,1}(z)$なので成立.$k+k'< n$のときを仮定し、$k+k'=n $のとき、成立することが分かる.（シャッフルと演算$⊛^{\mu}$の定義より）□

計算

$F^{\mu}_\mathbf k(z) ⊛^{\mu}F^{\mu}_{{\mathbf k}'} (z) $を２通りに計算して$z→1$とすることで、非自明な級数どうしの関係式を得ることができます。
$p,q$を２以上の整数として、$F^{\mu}_p(z) ⊛^{\mu}F^{\mu}_q(z) $を計算してみましょう。

シャッフル積で計算

\begin{multline} \begin{split} &\left.F^{\mu}_p(z) ⊛^{\mu}F^{\mu}_q(z)\right|_{z→1}\\ &=\sum_{i=0}^{p-1}{q-1+i \choose i}\sum_{m_1>m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^{q+i}\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{p-i}+ \sum_{i=0}^{q-1}{p-1+i \choose i}\sum_{m_1>m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^{p+i}\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{q-i} \end{split} \end{multline}

となります。（MZVのシャッフル積と同様なので過程は省略）

級数展開で計算

\begin{multline} \begin{split} &\left.F^{\mu}_p(z) ⊛^{\mu}F^{\mu}_q(z)\right|_{z→1}\\ &=\left.D^{-\mu}F^{\mu}_p(z)(D^{\mu}F^{\mu}_q(z))+D^{-\mu}F^{\mu}_q(z)(D^{\mu}F^{\mu}_p(z))\right|_{z→1}\\ &=\left.D^{-\mu}F^{\mu}_p(z)\frac{1}{z^{\mu}}F^{\mu}_{q-1}(z))+D^{-\mu}F^{\mu}_q(z)\frac{1}{z^{\mu}}F^{\mu}_{p-1}(z))\right|_{z→1}（補題より）\\ &=\sum_{m_1,m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^p\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{q-1}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_1+m_2+1)}\Bigg)+\sum_{m_1,m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^q\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{p-1}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_1+m_2+1)}\Bigg) \end{split} \end{multline}

第２行から第３行へは級数展開して積分しました。（tex打ちめんどい…）
結局、次を得ます。

\begin{multline} \begin{split} &\sum_{m_1,m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^p\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{q-1}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_1+m_2+1)}\Bigg)+\sum_{m_1,m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^q\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{p-1}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_1+m_2+1)}\Bigg)\\ &=\sum_{i=0}^{p-1}{q-1+i \choose i}\sum_{m_1>m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^{q+i}\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{p-i}+ \sum_{i=0}^{q-1}{p-1+i \choose i}\sum_{m_1>m_2>0}\Bigg( \frac{\Gamma(m_1+1-\mu)}{\Gamma(m_1+1)}\Bigg)^{p+i}\Bigg( \frac{\Gamma(m_2+1-\mu)}{\Gamma(m_2+1)}\Bigg)^{q-i} \end{split} \end{multline}

$\mu=\frac{1}{2} $を代入する

上式に$\mu=\frac{1}{2} $を代入します。
$\beta_n=\frac{{2n \choose n}}{2^{2n}}$とします。$\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(n+1)} =\beta_n \sqrt{\pi}$に注意し、両辺を$\sqrt{\pi} ^{p+q}$で割ることで、以下を得ます。

\begin{multline} \begin{split} &\sum_{m_1,m_2>0}\beta_{m_1}^p\beta_{m_2}^{q-1}\beta_{m_1+m_2}+ \sum_{m_1,m_2>0}\beta_{m_1}^q\beta_{m_2}^{p-1}\beta_{m_1+m_2}\\ &=\sum_{i=0}^{p-1}{q-1+i \choose i}\sum_{m_1>m_2>0}\beta_{m_1}^{q+i}\beta_{m_2}^{p-i}+ \sum_{i=0}^{q-1}{p-1+i \choose i}\sum_{m_1>m_2>0}\beta_{m_1}^{p+i}\beta_{m_2}^{q-i} \end{split} \end{multline}

感想

過去１でtex打ちがしんどかった……微分作用素をもってくれば級数にシャッフル積の構造を入れられることが分かったので、他の微分作用素でもやってみようと思います。最後の式は純粋な級数変形だけで示せるのでしょうか？ちなみに演算$⊛^{\mu}$について、
\begin{multline} \begin{split} f⊛^{\mu}g=2fg-2\sum_{j>0}{\mu \choose j}\{D^{j-\mu}(f)D^{-j}(g)+D^{j-\mu}(g)D^{-j}(f)\} \end{split} \end{multline}
が成立します。（定理１の3個目の式より）
これを使っても関係式が得られますが、無限個の級数がでてきてしまうのでやりませんでした。調和積の出番がどこかであるはずなのですが、、