どうもこんにちは、🐟🍊みかん🍊🐟です。今回は、正弦関数はいつでも周期的なのか?ということについて語っていきたいと思います。ここでは三角関数を冪級数
で定義される級数関数とします。これは実数の範囲において周期的であることがよく知られていますが、この冪級数は実数の範囲外においても、例えば複素数の範囲においても定義することができます。また実数の拡大体以外においてもこの冪級数が収束する範囲においてもは定義することができ、今回はその一つの例として
僕は
複素解析における三角関数の周期性は周知であろうが,念のため示しておくのである.まずは次の積分を考察する.
ここに,
記法に多少の問題はあろうが,意味するところは明白であろう.要するに「対数の切断線」を負の実軸にとったのである.Cauchyの積分定理より被積分関数が正則なる領域において任意に積分路を変更してもよいから,
のようになる.第一項は通常の実数の範囲における自然対数に一致し,第二項についても
となるから,偏角の多価性を表示に織り込めば
のようになる.(積分の表示から明らかであるように)対数関数と指数関数が逆関数にあることに注意すれば,次の表記を得る.
を変形することによって
を得るから,即ち正弦関数は
複素数値に関する収束に関しては収束半径が無限大であることがよく知られていたために収束半径の計算を省略したが,
様々な方法があるが,ここではCauchy-Hadamardの収束判定法を用いる.収束半径を
となる.ここに
となる.また
となり,また
ここで両辺
と求められる.以後は二つの場合に帰する.
このとき,
なるが,これは
このときは
以上によって収束域
となる.
結論から述べると,正弦関数は
冪級数がもつ零点は高々有限個である.
この主張を承認すれば,我々は簡単な議論によって正弦関数が周期をもたないことが言える.実際にある周期
収束域が
を考察すればよい.
であって,即ちある自然数
とすることができる.ここで
となるので,最右辺の級数部分を
となるので,等号成立条件
ここで
となって,矛盾.以上により初望の命題を得るのである.
いかがだったでしょうか。僕は
本稿で紹介した命題自体はとある方と数学について語っているときに知ったもので、その事実をうまく使ってこの記事を書こうと思った次第です。証明の方法の大まかな部分も彼の人の手法に依っていて、個人的には「正しそう」だと感じたので、この事実を使って記事を書いてみました。少しでも楽しめたのであれば幸いです。最後まで読んでいただきありがとうございました。