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Jacobi多項式の母関数に関するBaileyの公式

区間$(0,1)$における重み関数$t^{a-1}(1-t)^{b-1}$に対するJacobi多項式を
\begin{align} \rho_n^{(a,b)}(x):=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}x^k \end{align}
とする.

Watson(1922)

\begin{align} \F{}4{-n,a+n}{b,1+a-b}{xy,(1-x)(1-y)}&=\frac{(-1)^n(b)_n}{(1+a-b)_n}\F21{-n,a+n}{b}{x}\F21{-n,a+n}{b}{y} \end{align}

前の記事で示したBaileyの公式
\begin{align} \F{}4{a,b}{c,1+a+b-c}{x(1-y),y(1-x)}&=\F21{a,b}{c}{x}\F21{a,b}{1+a+b-c}{y} \end{align}
において, $a\mapsto -n, b\mapsto a+n, c\mapsto b,y\mapsto 1-y$として,
\begin{align} \F21{-n,a+n}{1+a-b}{1-y}&=\frac{(-1)^n(b)_n}{(1+a-b)_n}\F21{-n,a+n}{b}{y} \end{align}
を用いればよい.

Bailey(1938)

$s=\frac{4t}{(1+t)^2}$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{n!(a+b-1)_n}{(a,b)_n}\rho_n^{(a,b)}(x)\rho_n^{(a,b)}(y)t^n&=\frac 1{(1+t)^{a+b-1}}\F{}4{\frac{a+b-1}2,\frac{a+b}2}{a,b}{sxy,s(1-x)(1-y)} \end{align}
が成り立つ.

右辺は
\begin{align} \frac 1{(1+t)^{a+b-1}}\F{}4{\frac{a+b-1}2,\frac{a+b}2}{a,b}{sxy,s(1-x)(1-y)}&=\sum_{0\leq m,n}\frac{\left(\frac{a+b-1}2,\frac{a+b}2\right)_{m+n}}{m!(a)_mn!(b)_n}\frac{(4t)^{m+n}}{(1+t)^{2m+2n+a+b-1}}(xy)^m((1-x)(1-y))^n\\ &=\sum_{0\leq m,n,k}\frac{(a+b-1)_{2m+2n}}{m!(a)_mn!(b)_n}\frac{(2m+2n+a+b-1)_k}{k!}(-1)^kt^{m+n+k}(xy)^m((1-x)(1-y))^n\\ &=\sum_{0\leq m,n,m+n\leq k}\frac{(a+b-1)_{m+n+k}}{m!(a)_mn!(b)_n(k-m-n)!}(-1)^{k-m-n}t^k(xy)^m((1-x)(1-y))^n \end{align}
より, 両辺の$t^N$の関数を考えると,
\begin{align} \frac{N!(a+b-1)_N}{(a,b)_N}\rho_N^{(a,b)}(x)\rho_N^{(a,b)}(y)&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a+b-1)_{m+n+N}}{m!(a)_mn!(b)_n(N-m-n)!}(-1)^{N-m-n}(xy)^m((1-x)(1-y))^n \end{align}
を示せばよい. これは
\begin{align} \frac{(a)_N}{(b)_N}\F21{-N,a+b+N-1}{a}x\F21{-N,a+b+N-1}{a}y&=(-1)^N\F{}4{-N,a+b+N-1}{a,b}{xy,(1-x)(1-y)} \end{align}
と同値であるので, 前の命題より従う.

元々のBaileyによる結果は区間$(-1,1)$におけるJacobi多項式$P_n^{(a,b)}$で書かれているが, 個人的に区間を$(0,1)$にした方が扱いやすいのでそのようにした.

$y=1-x$とすると
\begin{align} \F{}4{a,b}{c_1,c_2}{x,x}&=\F43{a,b,\frac{c_1+c_2-1}2,\frac{c_1+c_2}2}{c_1,c_2,c_1+c_2-1}{4x} \end{align}
なので, 以下の系を得る.

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{n!(a+b-1)_n}{(a,b)_n}\rho_n^{(a,b)}(x)\rho_n^{(b,a)}(x)(-t)^n&=\F43{\frac{a+b-1}2,\frac{a+b-1}2,\frac{a+b}2,\frac{a+b}2}{a,b,a+b-1}{4x(1-x)\frac{4t}{(1+t)^2}} \end{align}

さらに$a=b$としてGegenbauer多項式, Legendre多項式で書き表すと以下を得る

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{n!}{(2a)_n}C_n^{(a)}(2x-1)^2(-t)^n&=\F21{a,a}{2a}{4x(1-x)\frac{4t}{(1+t)^2}}\\ \sum_{0\leq n}P_n(2x-1)^2(-t)^n&=\F21{\frac 12,\frac 12}1{4x(1-x)\frac{4t}{(1+t)^2}} \end{align}