Burchnall-ChaundyによるF4の展開公式

Appellの超幾何関数$F_4$は
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)& :=\sum _{0\le n,m}\frac{(a,b{)}_{n+m}}{(c_1{)}_n(c_2{)}_{m}n!m!}{x}^n{y}^m\end{array}$$
によって定義される. 今回は, 前回の記事( Burchnall-Chaundyの展開公式 )で示した等式のうちの1つである,
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x(1-y),y(1-x))& =\sum _{0\le n}\frac{(a,b,a+b-c_1-c_2+1{)}_n}{n!(c_1,c_2{)}_n}(xy{)}^{n}F(\begin{array}{c}a+n,b+n\\ c_1+n\end{array};x)F(\begin{array}{c}a+n,b+n\\ c_2+n\end{array};y)\end{array}$$

Clausenの公式

まず, $c_1=c,c_2=1+a+b-c$とすることによって, 以下が得られる.

特に, $x=y$とすると, 以下を得る.

さて, ここで

$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,x)& =\sum _{0\le n}\frac{(a,b{)}_n}{n!(c_1{)}_n}{x}^{n}F(\begin{array}{c}1-n-c_1,-n\\ c_2\end{array};1)\\ & =\sum _{0\le n}\frac{(a,b{)}_n(c_1+c_2{)}_{2n}}{n!(c_1,c_2,c_1+c_2-1{)}_n}{x}^n\\ & ={}_4{F}_3[\begin{array}{c}a,b,\frac{c_1+c_2-1}{2},\frac{c_1+c_2}{2}\\ c_1,c_2,c_1+c_2-1\end{array};4x]\end{array}$$
であることから以下を得る.

これは$x=0$の周りで成り立つ式であることに注意する必要がある. (例えば, そのまま$x=1$を代入しても正しくない). さらに$c=\frac{a+b+1}{2}$とすると, 以下を得る.

これはClausenの公式と呼ばれる重要な公式である.

$F_4$の積分表示

前の記事( Appellの超幾何級数の積分表示 )で証明を与えなかった公式
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x(1-y),y(1-x))& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c_1)\mathrm{\Gamma }(c_2)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c_1-a)\mathrm{\Gamma }(c_2-b)}{\int }_0^1{\int }_0^1\frac{s^{a-1}(1-s{)}^{c_1-a-1}{t}^{b-1}(1-t{)}^{c_2-b-1}}{(1-xs{)}^{c_1+c_2-a-1}(1-yt{)}^{c_1+c_2-b-1}(1-xs-yt{)}^{a+b-c_1-c_2+1}}dsdt\end{array}$$
は$(1-xs-yt{)}^{c_1+c_2-a-b-1}$を
$$\begin{array}{rl}(1-xs-yt{)}^{c_1+c_2-a-b-1}& =(1-xs{)}^{c_1+c_2-a-b-1}(1-yt{)}^{c_1+c_2-a-b-1}{(1-\frac{xyst}{(1-xs)(1-yt)})}^{c_1+c_2-a-b-1}\\ & =(1-xs{)}^{c_1+c_2-a-b-1}(1-yt{)}^{c_1+c_2-a-b-1}\sum _{0\le n}\frac{(a+b-c_1-c_2+1{)}_n}{n!}{\left(\frac{xyst}{(1-xs)(1-yt)}\right)}^n\end{array}$$
と展開して項別積分することによって, Burchnall-Chaundyの展開公式
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x(1-y),y(1-x))& =\sum _{0\le n}\frac{(a,b,a+b-c_1-c_2+1{)}_n}{n!(c_1,c_2{)}_n}(xy{)}^{n}F(\begin{array}{c}a+n,b+n\\ c_1+n\end{array};x)F(\begin{array}{c}a+n,b+n\\ c_2+n\end{array};y)\end{array}$$
と同値であることが分かる.

$(c_1,c_2)=(a,b)$の場合

$(c_1,c_2)=(a,b)$の場合は, Burchnall-Chaundyの展開公式は
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ a,b\end{array};x,y)& =\sum _{0\le n}(xy{)}^n(1-x{)}^{-b-n}(1-y{)}^{-a-n}\\ & =\frac{(1-x{)}^{1-b}(1-y{)}^{1-a}}{1-x-y}\end{array}$$
と簡単に表すことができる.