Burchnall-ChaundyによるF4の展開公式

Appellの超幾何関数$F_4$は
\begin{align} F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x,y\right)&:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,b)_{n+m}}{(c_1)_n(c_2)_mn!m!}x^ny^m \end{align}
によって定義される. 今回は, 前回の記事( Burchnall-Chaundyの展開公式 )で示した等式のうちの1つである,
\begin{align} F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x(1-y),y(1-x)\right)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,a+b-c_1-c_2+1)_n}{n!(c_1,c_2)_n}(xy)^nF\left(\begin{matrix}a+n,b+n\\c_1+n\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a+n,b+n\\c_2+n\end{matrix};y\right) \end{align}

Clausenの公式

まず, $c_1=c,c_2=1+a+b-c$とすることによって, 以下が得られる.

特に, $x=y$とすると, 以下を得る.

さて, ここで

\begin{align} F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x,x\right)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c_1)_n}x^nF\left(\begin{matrix}1-n-c_1,-n\\c_2\end{matrix};1\right)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n(c_1+c_2)_{2n}}{n!(c_1,c_2,c_1+c_2-1)_n}x^n\\ &=\F43{a,b,\frac{c_1+c_2-1}{2},\frac{c_1+c_2}2}{c_1,c_2,c_1+c_2-1}{4x} \end{align}
であることから以下を得る.

これは$x=0$の周りで成り立つ式であることに注意する必要がある. (例えば, そのまま$x=1$を代入しても正しくない). さらに$c=\frac{a+b+1}2$とすると, 以下を得る.

これはClausenの公式と呼ばれる重要な公式である.

$F_4$の積分表示

前の記事( Appellの超幾何級数の積分表示 )で証明を与えなかった公式
\begin{align} F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x(1-y),y(1-x)\right)&=\frac{\Gamma(c_1)\Gamma(c_2)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c_1-a)\Gamma(c_2-b)}\int_0^1\int_0^1\frac{s^{a-1}(1-s)^{c_1-a-1}t^{b-1}(1-t)^{c_2-b-1}}{(1-xs)^{c_1+c_2-a-1}(1-yt)^{c_1+c_2-b-1}(1-xs-yt)^{a+b-c_1-c_2+1}}\,dsdt \end{align}
は$(1-xs-yt)^{c_1+c_2-a-b-1}$を
\begin{align} (1-xs-yt)^{c_1+c_2-a-b-1}&=(1-xs)^{c_1+c_2-a-b-1}(1-yt)^{c_1+c_2-a-b-1}\left(1-\frac{xyst}{(1-xs)(1-yt)}\right)^{c_1+c_2-a-b-1}\\ &=(1-xs)^{c_1+c_2-a-b-1}(1-yt)^{c_1+c_2-a-b-1}\sum_{0\leq n}\frac{(a+b-c_1-c_2+1)_n}{n!}\left(\frac{xyst}{(1-xs)(1-yt)}\right)^n \end{align}
と展開して項別積分することによって, Burchnall-Chaundyの展開公式
\begin{align} F_4\left(\begin{matrix}a;b\\c_1,c_2\end{matrix};x(1-y),y(1-x)\right)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,a+b-c_1-c_2+1)_n}{n!(c_1,c_2)_n}(xy)^nF\left(\begin{matrix}a+n,b+n\\c_1+n\end{matrix};x\right)F\left(\begin{matrix}a+n,b+n\\c_2+n\end{matrix};y\right) \end{align}
と同値であることが分かる.

$(c_1,c_2)=(a,b)$の場合

$(c_1,c_2)=(a,b)$の場合は, Burchnall-Chaundyの展開公式は
\begin{align} F_4\left(\begin{matrix}a;b\\a,b\end{matrix};x,y\right)&=\sum_{0\leq n}(xy)^n(1-x)^{-b-n}(1-y)^{-a-n}\\ &=\frac{(1-x)^{1-b}(1-y)^{1-a}}{1-x-y} \end{align}
と簡単に表すことができる.