Burchnall-Chaundyの展開公式

前回の記事( Burchnall-Chaundyの作用素とAppellの超幾何級数 )でBurchnall-Chaundyによる18個の展開公式を紹介した. 今回は前回扱わなかったタイプの展開公式について書いていきたいと思う.

12個の展開公式

これらは前回のものと比較してそれほど単純ではないものが多いので, 全て証明の概略を書いていきたいと思う.

まず最初の2つはTaylor展開
$$\begin{array}{rl}F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+h)& =\sum _{0\le r}\frac{(a,b{)}_r}{r!(c{)}_r}{h}^{r}F(\begin{array}{c}a+r,b+r\\ c+r\end{array};x)\end{array}$$
の特別な場合として理解できる. 直接計算することによって,
$$\begin{array}{rl}\frac{(1-c-{\theta }_x-{\theta }_y,-{\theta }_x,-{\theta }_y{)}_r}{(1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,1-b-{\theta }_x-{\theta }_y{)}_r}F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y)& =\frac{(a,b{)}_r}{(c{)}_r}(-xy{)}^{r}F(\begin{array}{c}a+r,b+r\\ c+r\end{array};x+y)\end{array}$$
が分かるので,
$$\begin{array}{rl}F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y-xy)& =\sum _{0\le r}(-1{)}^r\frac{(a,b{)}_r}{r!(c{)}_r}(xy{)}^{r}F(\begin{array}{c}a+r,b+r\\ c+r\end{array};x+y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}1-c-{\theta }_x-{\theta }_y,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,1-b-{\theta }_x-{\theta }_y\end{array};1]F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y)\end{array}$$
と書き換えることができる. ここで, Whippleによる変換公式
$$\begin{array}{rl}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}h,-n,-m\\ a,b\end{array};1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(a+n+m)}{\mathrm{\Gamma }(a+n)\mathrm{\Gamma }(a+m)}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}b-h,-n,-m\\ 1-a-n-m,b\end{array};1]\end{array}$$
を書き直すと,
$$\begin{array}{rl}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}h,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ a,b\end{array};1]\mathrm{\Delta }(a)& ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}b-h,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,b\end{array};1]\end{array}$$
が得られる. よって,
$$\begin{array}{rl}F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y-xy)& ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}1-c-{\theta }_x-{\theta }_y,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,1-b-{\theta }_x-{\theta }_y\end{array};1]F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}c-a,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,b\end{array};1]\mathrm{\Delta }(b)F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}c-a,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,b\end{array};1]F_1(\begin{array}{c}a;b,b\\ c\end{array};x,y)\end{array}$$
を展開することによって, 3つ目の公式を得る. また,
$$\begin{array}{rl}F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y-xy)& ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}c-a,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,b\end{array};1]F_1(\begin{array}{c}a;b,b\\ c\end{array};x,y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}a+b-c,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ a,b\end{array};1]\mathrm{\Delta }(a)F_1(\begin{array}{c}a;b,b\\ c\end{array};x,y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}a+b-c,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ a,b\end{array};1]F_3(\begin{array}{c}a,a;b,b\\ c\end{array};x,y)\end{array}$$
を展開すれば5つ目の公式を得る. 次に${}_6{F}_5$の場合のWhippleの変換公式
$$\begin{array}{rl}{}_6{F}_5[\begin{array}{c}c-a,c-b,c-1,\frac{c+1}{2},-n,-m\\ a,b,\frac{c-1}{2},c+n,c+m\end{array};-1]& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c+n)\mathrm{\Gamma }(c+m)}{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c+n+m)}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}a+b-c,-n,-m\\ a,b\end{array};1]\end{array}$$
を書き直すと,
$$\begin{array}{rl}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}a+b-c,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ a,b\end{array};1]& ={}_6{F}_5[\begin{array}{c}c-a,c-b,c-1,\frac{c+1}{2},-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ \frac{c-1}{2},c+{\theta }_x,c+{\theta }_y\end{array};-1]\mathrm{\nabla }(c)\end{array}$$
となるので, これを用いると,
$$\begin{array}{rl}F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x+y-xy)& ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}a+b-c,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ a,b\end{array};1]F_3(\begin{array}{c}a,a;b,b\\ c\end{array};x,y)\\ & ={}_6{F}_5[\begin{array}{c}c-a,c-b,c-1,\frac{c+1}{2},-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ \frac{c-1}{2},c+{\theta }_x,c+{\theta }_y\end{array};-1]\mathrm{\nabla }(c)F_3(\begin{array}{c}a,a;b,b\\ c\end{array};x,y)\\ & ={}_6{F}_5[\begin{array}{c}c-a,c-b,c-1,\frac{c+1}{2},-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ \frac{c-1}{2},c+{\theta }_x,c+{\theta }_y\end{array};-1]F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};x)F(\begin{array}{c}a,b\\ c\end{array};y)\end{array}$$
を得る. これを展開すれば, 7個目の公式が得られる. 次に,
$$\begin{array}{rl}(x(1-y){)}^n& =(1-y{)}^{{\theta }_x}{x}^n\\ & =\sum _{0\le r}\frac{y^r}{r!}(-{\theta }_x{)}_r{x}^n\end{array}$$
と書けることより,
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x(1-y),y(1-x))& =\sum _{0\le r,s}\frac{y^r{x}^s}{r!s!}(-{\theta }_x{)}_r(-{\theta }_y{)}_s{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)\\ & =\sum _{0\le n}(-xy{)}^n\sum _{r+s=n}\frac{(a,b{)}_n}{r!s!(c_1{)}_r(c_2{)}_s}{F}_4(\begin{array}{c}a+n;b+n\\ c_1+r,c_2+s\end{array};x,y)\\ & =\sum _{0\le n}\frac{(a,b{)}_n}{(c_1,c_2{)}_n}(-xy{)}^n\sum _{r+s=n}\frac{(c_1+n-s{)}_s(c_2+n-r{)}_r}{s!r!}{F}_4(\begin{array}{c}a+n;b+n\\ c_1+n-s,c_2+n-r\end{array};x,y)\end{array}$$
であり,
$$\begin{array}{rl}\sum _{r+s=n}\frac{(c_1+n-s{)}_s(c_2+n-r{)}_r}{s!r!}{F}_4(\begin{array}{c}a+n;b+n\\ c_1+n-s,c_2+n-r\end{array};x,y)& =(-1{)}^n\sum _{r+s=n}\frac{(1-c_1-n-{\theta }_x{)}_s(1-c_2-n-{\theta }_y{)}_r}{s!r!}{F}_4(\begin{array}{c}a+n;b+n\\ c_1+n,c_2+n\end{array};x,y)\\ & =(-1{)}^n\frac{(2-c_1-c_2-2n-{\theta }_x-{\theta }_y{)}_n}{n!}{F}_4(\begin{array}{c}a+n;b+n\\ c_1+n,c_2+n\end{array};x,y)\end{array}$$
よって, 直接計算により,
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x(1-y),y(1-x))& =\sum _{0\le n}\frac{(a,b,2-c_1-c_2-{\theta }_x-{\theta }_y{)}_n}{n!(c_1,c_2{)}_n}(xy{)}^n{F}_4(\begin{array}{c}a+n;b+n\\ c_1+n,c_2+n\end{array};x,y)\\ & =\sum _{0\le n}\frac{(2-c_1-c_2-{\theta }_x-{\theta }_y,-{\theta }_x,-{\theta }_y{)}_n}{n!(1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,1-b-{\theta }_x-{\theta }_y{)}_n}(xy{)}^n{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}2-c_1-c_2-{\theta }_x-{\theta }_y,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,1-b-{\theta }_x-{\theta }_y\end{array};1]F_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)\end{array}$$
と書くことができる. ${}_3{F}_2$の方のWhippleの変換公式から従う式を用いることによって,
$$\begin{array}{rl}{F}_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x(1-y),y(1-x))& ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}2-c_1-c_2-{\theta }_x-{\theta }_y,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,1-b-{\theta }_x-{\theta }_y\end{array};1]F_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}{c}_1+c_2-a-1,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,b\end{array};1]\mathrm{\Delta }(b)F_4(\begin{array}{c}a;b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}{c}_1+c_2-a-1,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ 1-a-{\theta }_x-{\theta }_y,b\end{array};1]F_2(\begin{array}{c}a;b,b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}a+b-c_1-c_1+1,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ a,b\end{array};1]\mathrm{\Delta }(a)F_2(\begin{array}{c}a;b,b\\ c_1,c_2\end{array};x,y)\\ & ={}_3{F}_2[\begin{array}{c}a+b-c_1-c_1+1,-{\theta }_x,-{\theta }_y\\ a,b\end{array};1]F(\begin{array}{c}a,b\\ c_1\end{array};x)F(\begin{array}{c}a,b\\ c_2\end{array};x)\end{array}$$

これらにより, 9個目, 11個目の公式が従う. よって奇数番目の公式は全て示すことができる. 奇数番目の公式が示されれば, それを偶数番目の公式の右辺に代入して, 左辺に一致することを示すという方針によって, 偶数番目の公式は簡単に示すことができる. これらの公式は, 基本的な超幾何級数の公式だけから導出できているが, Whippleの変換公式を用いて証明されたものは前回の記事で紹介したものより深い結果であると考えられる.