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大学数学基礎解説
文献あり

微分方程式による逆関数定理の証明

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多様体の局所座標を構成したり, 綺麗な局所座標変換の存在を示すのに便利なのが, 学部1~2年次に学ぶ逆関数定理です. この定理の証明としては

  1. 緻密な評価を重ねて全単射性やなめらかさを直接示す.
  2. 縮小写像原理を用いて逆写像を構成する.

の2つが特に有名です.
今回はそのどちらでもない第3の方法, 常微分方程式の解の存在とその微分可能性の問題に帰着させる方法を紹介しようと思います.

※本稿では常微分方程式論, 特に方程式の解の存在に関する理論(Picard-Lindelöfの定理)を学習済みの読者を想定しています.

逆関数定理の証明

はじめに逆関数定理のステートメントを思い出しておきましょう.

逆関数定理

r1とする. URnを原点0を含む開集合とし, f:URnf(0)=0 を満たすCr級写像とする. もし原点におけるfの微分df0:RnRnが全単射線型写像ならば, 0VUを満たすある開集合Vが存在して,制限f:Vf(V)Cr級微分同相になる.

一見f(0)=0という仮定が強すぎるように見えますが, 任意の点は並行移動という微分同相によって原点に移動できるため, このように仮定しても一般性を失いません. また, df0は正則行列になりますから, その逆行列をかけるという微分同相によりdf0=Iと仮定して一般性を失いません.

そこで以下ではdf0=Iとします.

定理を示すために, 原点の周りで定義された逆写像を構成することを考えます.

問題の読み替え

ひとまず, 原点の小さな近傍Vで定義された写像gで次を満たすものを構成することを考えます:
f(g(y))=y.
このg自体も微分同相になることが(当然)期待されるので, 自明な微分同相である恒等写像を変形することによってgを作ってみます. すなわち, ホモトピーφ:V×[0,1]U

  • φ(y,0)=y
  • f(φ(y,1))=y

を満たすようなものを探します.
そのために,
η(z,t)=tf(z)+(1t)z
とおきます(線分で結ぶイメージです). ここで, もしφ
(1)tη(φ(y,t),t)=0
を満たすと仮定すると,
f(φ(y,1))=η(φ(y,1),1)=η(φ(y,0),0)=φ(y,0)=y
となり, g=φ(,1)とおけば所与の性質を満たすことがわかります. 式(1)を満たすφを見つけるということはすなわち, φに関する微分方程式を解くことに他なりません. また, 写像gのなめらかさは, 解φの初期条件φ(y,0)=yに関するなめらかさを調べることでわかります.

こうして, (右)逆写像gを求めよという問題が, φに関する微分方程式(1)の初期値問題を解けという問題に帰着されたことになります.

近傍Vの取り方やgが左逆写像にもなっているかなどの細かい部分の検証も含めて, 次節以降でこの方程式やその解φについて見ていこうと思います.

方程式 tη(φ(y,t),t)=0 を解く

先ほど導出した微分方程式(1)に,
η(φ(y,t),t)=tf(φ(y,t))+(1t)φ(y,t)
を代入して計算すると,
(2)f(φ(y,t))φ(y,t)+tdfφ(y,t)(tφ(y,t))+(1t)tφ(y,t)=0
となります. この式をtφ=の形に変形しましょう.
平均値の定理より,
f(x)=f(x)f(0)=01s(f(sx))ds=01dfsx(x)ds
となるので,
f(φ(y,t))φ(y,t)=01(dfsφ(y,t)(φ(y,t))φ(y,t))ds.
ここで, zRnをパラメータに持つ2つの行列T0(z),T1(z,t)を,
T0(z)=01(dfszI)ds,T1(z,t)=tdfz+(1t)I
で定義すると, 方程式(2)は,
T0(φ(y,t))φ(y,t)+T1(φ(y,t),t)tφ(y,t)=0
と表せます. もし行列T1(z,t)が逆行列を持てば, この式は
tφ(y,t)=T1(φ(y,t),t)1T0(φ(y,t))φ(y,t)
と綺麗な形に変形できるのですが, このことは次の補題で正当化されます.

あるδ>0が存在して, |z|<δを満たす任意のzに対し, 行列T1(z,t)は逆行列を持つ.

写像fの仮定から, df0=Iであった. dfzzに関して連続だから, その固有値を{λi(z)}i=1nとすると, δ>0を十分小さく取れば, 任意のzBδに対して|λi(z)1|<1/2とできる. dfzの固有値λi(z)に属する固有ベクトルをvi(z)とすると,
T1(z,t)vi(z)=(tdfz+(1t)I)vi(z)=(tλi(z)+1t)vi(z)
となる. よって, μi(z,t)=tλi(z)+1tは行列T1(z,t)の固有値である. このとき, t[0,1]に対し,
|μi(z,t)1|=|t(λi(z)1)|12.
よって特にμi(z,t)0となるから, 任意のzBδおよび任意のt[0,1]に対してdet(T1(z,t))=μ1(z,t)μn(z,t)0. したがってT1(z,t)は逆行列を持つ.

以下, δ>0を補題2の証明中で取ったδとします.
この補題により, 行列関数
A(z,t)=T1(z,t)1T0(z)
Bδにおいてwell-definedになります. これを用いると, 方程式(2)は結局
tφ(y,t)=A(φ(y,t),t)φ(y,t)
となります.
仮定から, dfzzに関してCr1級ですので, 行列関数A(z,t)もまたzについてCr1-級です. これにより, 常微分方程式の解の存在および初期値に関するなめらかさの理論から, yに関してCr1級になる方程式(1)の解φ(y,t)がただ一つ存在することがわかりました.

ここまでに分かったことを定理の形でまとめておきます.

fは定理1の仮定を満たしているとする. このとき, 写像φ:Bδ×[0,1]Rnで, 次を満たすものが存在する:

  1. φ(y,t)yBδに関してCr1級.
  2. φ(y,0)=0.
  3. 任意のyBδに対し, f(φ(y,1))=y.

g=φ(,1)とおいて, 次節で証明の細部を詰めていきます.

gは微分同相

次に, 任意のtに対して, 写像g:BδRnは像g(Bδ)の上への同相写像になることを示します.

補題2の証明をよく見ると, δ>0の取り方からt[1,0]に対してもA(z,t)が定義できることがわかるので, 解φ(y,t)t[1,1]の範囲にまで拡張することができます. このとき, 常微分方程式の解の一意性から直ちに次がわかります(詳細は例えばMMの定理17.7を参照してください).

s+t[1,1]を満たす任意のs,t[1,1]に対し, φ(y,s)φ(y,t)=φ(y,s+t)が任意のyBδに対して成り立つ.

補題4の

任意のt[1,1]に対し, φ(,t):Bδφ(Bδ,t)は同相写像.

任意のt[1,1]に対して, φ(,t):Bδφ(Bδ,t)は連続である. また, t+(t)=0およびφ(,0)=idに注意すると, 任意のyBδに対し,
φ(y,t)φ(y,t)=φ(y,0)=y,φ(y,t)φ(y,t)=φ(y,0)=y
となるので, φ(,t)φ(,t)の逆写像となり, したがってφ(,t)は同相写像.

これを用いれば, g=φ(,1)fの逆写像になっていることが示せます.

原点のある開近傍上でfgを逆写像に持つこと

δを十分小さくとれば, 命題3の3つの性質を持つ写像φ(y,t)が構成できた. また, 補題4の系から, g=φ(,1):Bδφ(Bδ,1)は同相写像になるから, 必要ならδを小さく取り直してg(Bδ)=φ(Bδ,1)Uの開部分集合であるとしてよい.
そこでV=g(Bδ)とおくと, fVへの制限がgを逆写像に持つことを示す.

まず, f(V)Bδである. 実際, 任意のxV=g(Bδ)に対して, x=g(y)となるyBδがあるから, 命題3(3)より,
f(x)=f(g(y))=yBδ.
したがってf(V)Bδ.
命題3(3)からgfの右逆写像になることは明らかだから, あとはgfの左逆写像になることを示せばよい.
任意のxVに対し, g(y)=xとなるyBδを取れば, 命題3(3)より
g(f(x))=g(f(g(y)))=g(y)=x.
よって, gfの左逆写像でもあることが分かった.
以上により, fVへの制限はgを逆写像として持つことが示せた.

ここまででほぼ逆関数の定理の証明は終わったのですが, 命題3の主張を思い返すと, 逆写像gの微分可能性がCr1級までしか示せていません. 最後にgCr級であることを示しましょう.

gCr級であること

任意のyf(V)に対し, gの微分dgydgy=(dfg(y))1で与えられる. dfxxについてCr1級に依存し, 命題3(1)よりgCr1級だから, その合成であるdgもまたCr1級である. よってgCr級である.

以上によってめでたく逆関数定理が証明できました.

おわりに

本稿で用いた, 微分同相の存在を常微分方程式の解の存在に帰着させる手法はMoser's trickと呼ばれています. 元々は論文Moにおいて用いられた手法ですが, 例えばsymplectic幾何学におけるDarboux座標の存在やMorseの補題の証明など, 都合のいい座標変換の存在を示すのに応用されます. 本稿の証明も, 文献JJによるMorseの補題の証明を参考にしています.

追記:
2024/04/29 補題2の証明中に誤りがあったため修正. ご指摘ありがとうございました.

参考文献

[1]
J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis (7th ed.), Springer, 2017, 401-403
[3]
笠原晧司, 微分方程式の基礎, 数理科学ライブラリー, 朝倉書店, 1982
[4]
松本幸夫, 多様体の基礎, 東京大学出版会, 1988
[5]
浦川肇, 変分法と調和写像, 裳華房, 2006, 42-45
投稿日:2024415
更新日:2024429
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Torte
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Ph.D(数理学). 幾何学や解析学が好きです. 多分大学数学メイン?

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  1. 逆関数定理の証明
  2. 問題の読み替え
  3. 方程式 $\frac{\partial}{\partial t}\eta(\varphi(y, t), t)=0$ を解く
  4. $g$は微分同相
  5. おわりに
  6. 参考文献