微分方程式による逆関数定理の証明
多様体の局所座標を構成したり, 綺麗な局所座標変換の存在を示すのに便利なのが, 学部1~2年次に学ぶ逆関数定理です. この定理の証明としては
- 緻密な評価を重ねて全単射性やなめらかさを直接示す.
- 縮小写像原理を用いて逆写像を構成する.
の2つが特に有名です.
今回はそのどちらでもない第３の方法, 常微分方程式の解の存在とその微分可能性の問題に帰着させる方法を紹介しようと思います.
※本稿では常微分方程式論, 特に方程式の解の存在に関する理論(Picard-Lindelöfの定理)を学習済みの読者を想定しています.
逆関数定理の証明
はじめに逆関数定理のステートメントを思い出しておきましょう.
$r\geq 1$とする. $U \subset \mbb{R}^n$を原点$0$を含む開集合とし, $f: U \to \mbb{R}^n$を$f(0)=0$ を満たす$C^r$級写像とする. もし原点における$f$の微分$df_0: \mbb{R}^n \to \mbb{R}^n$が全単射線型写像ならば, $0 \in V \subset U$を満たすある開集合$V$が存在して,制限$f: V \to f(V)$が$C^r$級微分同相になる.
一見$f(0)=0$という仮定が強すぎるように見えますが, 任意の点は並行移動という微分同相によって原点に移動できるため, このように仮定しても一般性を失いません. また, $df_0$は正則行列になりますから, その逆行列をかけるという微分同相により$df_0=I$と仮定して一般性を失いません.
そこで以下では$df_0=I$とします.
定理を示すために, 原点の周りで定義された逆写像を構成することを考えます.
問題の読み替え
ひとまず, 原点の小さな近傍$V$で定義された写像$g$で次を満たすものを構成することを考えます:
\begin{align}
f(g(y))=y.
\end{align}
この$g$自体も微分同相になることが(当然)期待されるので, 自明な微分同相である恒等写像を変形することによって$g$を作ってみます. すなわち, ホモトピー$\varphi: V\times [0, 1] \to U$で
- $\varphi(y, 0)=y$
- $f(\varphi(y, 1))=y$
を満たすようなものを探します.
そのために,
\begin{align}
\eta(z, t)= tf(z)+(1-t)z
\end{align}
とおきます(線分で結ぶイメージです). ここで, もし$\varphi$が
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\eta(\varphi(y, t), t)=0 \label{eq:diffeq} \tag{1}
\end{align}
を満たすと仮定すると,
\begin{align}
f(\varphi(y, 1))=\eta(\varphi(y, 1), 1)=\eta(\varphi(y, 0), 0)=\varphi(y, 0)=y
\end{align}
となり, $g=\varphi(\cdot, 1)$とおけば所与の性質を満たすことがわかります. 式\eqref{eq:diffeq}を満たす$\varphi$を見つけるということはすなわち, $\varphi$に関する微分方程式を解くことに他なりません. また, 写像$g$のなめらかさは, 解$\varphi$の初期条件$\varphi(y, 0)=y$に関するなめらかさを調べることでわかります.
こうして, (右)逆写像$g$を求めよという問題が, $\varphi$に関する微分方程式\eqref{eq:diffeq}の初期値問題を解けという問題に帰着されたことになります.
近傍$V$の取り方や$g$が左逆写像にもなっているかなどの細かい部分の検証も含めて, 次節以降でこの方程式やその解$\varphi$について見ていこうと思います.
方程式 $\frac{\partial}{\partial t}\eta(\varphi(y, t), t)=0$ を解く
先ほど導出した微分方程式\eqref{eq:diffeq}に,
\begin{align}
\eta(\varphi(y, t), t)=tf(\varphi(y, t))+(1-t)\varphi(y, t)
\end{align}
を代入して計算すると,
\begin{align}
f(\varphi(y, t))-\varphi(y, t)+tdf_{\varphi(y, t)}\left(\frac{\partial}{\partial t}\varphi(y, t)\right)+(1-t)\frac{\partial}{\partial t}\varphi(y, t)=0 \label{eq:diffeq2} \tag{2}
\end{align}
となります. この式を$\partial_t \varphi=\ldots$の形に変形しましょう.
平均値の定理より,
\begin{align}
f(x)=f(x)-f(0)=\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial s}(f(sx))ds=\int_{0}^{1}df_{sx}(x)ds
\end{align}
となるので,
\begin{align}
f(\varphi(y, t))-\varphi(y, t)=\int_{0}^{1}(df_{s\varphi(y, t)}(\varphi(y, t))-\varphi(y, t))ds.
\end{align}
ここで, $z \in \mbb{R}^n$をパラメータに持つ2つの行列$T_0(z), T_1(z,t)$を,
\begin{align}
T_0(z) &= \int_{0}^{1}(df_{sz}-I)ds, \\
T_1(z, t) &= tdf_z+(1-t)I
\end{align}
で定義すると, 方程式\eqref{eq:diffeq2}は,
\begin{align}
T_0(\varphi(y, t))\varphi(y, t) + T_1(\varphi(y, t), t)\frac{\partial}{\partial t}\varphi(y, t)=0
\end{align}
と表せます. もし行列$T_1(z, t)$が逆行列を持てば, この式は
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\varphi(y, t)=-T_1(\varphi(y, t), t)^{-1}\circ T_0(\varphi(y, t))\varphi(y, t)
\end{align}
と綺麗な形に変形できるのですが, このことは次の補題で正当化されます.
ある$\delta>0$が存在して, $|z|<\delta$を満たす任意の$z$に対し, 行列$T_1(z, t)$は逆行列を持つ.
写像$f$の仮定から, $df_0=I$であった. $df_z$は$z$に関して連続だから, その固有値を$\{\lambda_i(z)\}_{i=1}^{n}$とすると, $\delta>0$を十分小さく取れば, 任意の$z \in B_{\delta}$に対して$|\lambda_i(z)-1|<1/2$とできる. $df_z$の固有値$\lambda_i(z)$に属する固有ベクトルを$v_i(z)$とすると,
\begin{align}
T_1(z, t)v_i(z) = (tdf_z+(1-t)I)v_i(z) = (t\lambda_i(z)+1-t)v_i(z)
\end{align}
となる. よって, $\mu_i(z, t) = t\lambda_i(z)+1-t$は行列$T_1(z, t)$の固有値である. このとき, $t \in [0, 1]$に対し,
\begin{align}
|\mu_i(z, t)-1|=|t(\lambda_i(z)-1)| \leq \frac{1}{2}.
\end{align}
よって特に$\mu_i(z, t)\neq0$となるから, 任意の$z \in B_{\delta}$および任意の$t \in [0,1]$に対して$\det{T_1(z, t)}=\mu_1(z, t)\cdots\mu_n(z, t)\neq0$. したがって$T_1(z, t)$は逆行列を持つ.
以下, $\delta>0$を補題2の証明中で取った$\delta$とします.
この補題により, 行列関数
\begin{align}
A(z, t)=-T_1(z, t)^{-1}\circ T_0(z)
\end{align}
が$B_{\delta}$においてwell-definedになります. これを用いると, 方程式\eqref{eq:diffeq2}は結局
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\varphi(y, t)=A(\varphi(y, t), t)\varphi(y, t)
\end{align}
となります.
仮定から, $df_z$は$z$に関して$C^{r-1}$級ですので, 行列関数$A(z, t)$もまた$z$について$C^{r-1}$-級です. これにより, 常微分方程式の解の存在および初期値に関するなめらかさの理論から, $y$に関して$C^{r-1}$級になる方程式\eqref{eq:diffeq}の解$\varphi(y, t)$がただ一つ存在することがわかりました.
ここまでに分かったことを定理の形でまとめておきます.
$f$は定理1の仮定を満たしているとする. このとき, 写像$\varphi: B_{\delta}\times[0, 1] \to \mbb{R}^n$で, 次を満たすものが存在する:
- $\varphi(y, t)$は$y \in B_{\delta}$に関して$C^{r-1}$級.
- $\varphi(y, 0) = 0$.
- 任意の$y \in B_{\delta}$に対し, $f(\varphi(y, 1)) = y$.
$g=\varphi(\cdot, 1)$とおいて, 次節で証明の細部を詰めていきます.
$g$は微分同相
次に, 任意の$t$に対して, 写像$g: B_{\delta} \to \mbb{R}^n$は像$g(B_{\delta})$の上への同相写像になることを示します.
補題2の証明をよく見ると, $\delta>0$の取り方から$t \in [-1, 0]$に対しても$A(z, t)$が定義できることがわかるので, 解$\varphi(y, t)$は$t \in [-1, 1]$の範囲にまで拡張することができます. このとき, 常微分方程式の解の一意性から直ちに次がわかります(詳細は例えばMMの定理17.7を参照してください).
$s+t \in [-1, 1]$を満たす任意の$s, t \in [-1, 1]$に対し, $\varphi(y, s)\circ \varphi(y, t) = \varphi(y, s+t)$が任意の$y \in B_{\delta}$に対して成り立つ.
任意の$t \in [-1, 1]$に対し, $\varphi(\cdot, t): B_{\delta} \to \varphi(B_{\delta}, t)$は同相写像.
任意の$t \in [-1, 1]$に対して, $\varphi(\cdot, t): B_{\delta} \to \varphi(B_{\delta}, t)$は連続である. また, $t+(-t)=0$および$\varphi(\cdot, 0)=\mrm{id}$に注意すると, 任意の$y \in B_{\delta}$に対し,
\begin{align}
\varphi(y, t) \circ \varphi(y, -t) &= \varphi(y, 0) = y, \\
\varphi(y,-t) \circ \varphi(y, t) &= \varphi(y, 0) = y
\end{align}
となるので, $\varphi(\cdot, -t)$は$\varphi(\cdot, t)$の逆写像となり, したがって$\varphi(\cdot, t)$は同相写像.
これを用いれば, $g=\varphi(\cdot, 1)$が$f$の逆写像になっていることが示せます.
$\delta$を十分小さくとれば, 命題3の3つの性質を持つ写像$\varphi(y, t)$が構成できた. また, 補題4の系から, $g=\varphi(\cdot, 1): B_{\delta} \to \varphi(B_{\delta}, 1)$は同相写像になるから, 必要なら$\delta$を小さく取り直して$g(B_{\delta})=\varphi(B_{\delta}, 1)$が$U$の開部分集合であるとしてよい.
そこで$V=g(B_{\delta})$とおくと, $f$の$V$への制限が$g$を逆写像に持つことを示す.
まず, $f(V)\subset B_{\delta}$である. 実際, 任意の$x \in V=g(B_{\delta})$に対して, $x=g(y)$となる$y \in B_{\delta}$があるから, 命題3(3)より,
\begin{align}
f(x)=f(g(y))=y \in B_{\delta}.
\end{align}
したがって$f(V)\subset B_{\delta}$.
命題3(3)から$g$が$f$の右逆写像になることは明らかだから, あとは$g$が$f$の左逆写像になることを示せばよい.
任意の$x\in V$に対し, $g(y)=x$となる$y \in B_{\delta}$を取れば, 命題3(3)より
\begin{align}
g(f(x))=g(f(g(y)))=g(y)=x.
\end{align}
よって, $g$は$f$の左逆写像でもあることが分かった.
以上により, $f$の$V$への制限は$g$を逆写像として持つことが示せた.
ここまででほぼ逆関数の定理の証明は終わったのですが, 命題3の主張を思い返すと, 逆写像$g$の微分可能性が$C^{r-1}$級までしか示せていません. 最後に$g$が$C^r$級であることを示しましょう.
任意の$y \in f(V)$に対し, $g$の微分$dg_y$は$dg_y=(df_{g(y)})^{-1}$で与えられる. $df_x$は$x$について$C^{r-1}$級に依存し, 命題3(1)より$g$も$C^{r-1}$級だから, その合成である$dg$もまた$C^{r-1}$級である. よって$g$は$C^r$級である.
以上によってめでたく逆関数定理が証明できました.
おわりに
本稿で用いた, 微分同相の存在を常微分方程式の解の存在に帰着させる手法はMoser's trickと呼ばれています. 元々は論文Moにおいて用いられた手法ですが, 例えばsymplectic幾何学におけるDarboux座標の存在やMorseの補題の証明など, 都合のいい座標変換の存在を示すのに応用されます. 本稿の証明も, 文献JJによるMorseの補題の証明を参考にしています.
追記:
2024/04/29 補題2の証明中に誤りがあったため修正. ご指摘ありがとうございました.
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