レート色・BLACKが語る！Integralisの勉強法 〜Basic 中級者層〜
編集中のため、未完成です。
こんにちは、Gagohです。
Integralis以外の予定が多すぎて参加もしづらいが、記事だけでも仕上げようと励んでいる最中です。元気といいねください(乞食すぎる)。
こういうのを書いていると、参加初期の自分を思い出します。
さて、本題に移りましょう。ここでは、
IBCEの参加も視野に入れたい！
というような人のために、勉強法を綴っていきたいと思います。是非参加時にお役立てください。
3.0 前回の粗筋
前回は初心者帯であるRate Cyan,Azureの勉強法を書き留めました。Integralisの仕様も少しづつ分かってきたのではないでしょうか。ここまでくれば立派な競技積分-er！
3.1 Basic Rate Violet
いよいよIBCEも見えてきました。もしかしたら、IBCのどれかを全完しているプレイヤーも増えるでしょうか。それもそのはず、Difficulty 6,7 は基本的にDifficulty 5 までに使う知識を複合させて解く問題が大多数です。それほど知識を身につける必要がない以上、Difficulty 5 からDifficulty 6,7 への移行の難易度はあまり高くはないと感じます。
しかし、難易度による差はないものではありません。計算量も増え、安定して解くことが非常に難しいとされています。コンテスト自体、全完することに慣れてない人には十分時間があるとは言い切れないくらいのものなので、この帯になると、安定して解く＋時間に気にして短時間で解く力が必要です。
この帯では、「時間」に注意して解くことが基本的な勉強法です。そんな時におすすめなのが、「セット演習」です。セット演習では、大会中未回答、未練習の問題を型を決めてそれに合わせて解くことができます。中には、Customという、自分で難易度や時間を調節して演習できる機能も備わっているので、好きな時に好きな演習をできるのも強みです。まずは使ってみてはどうでしょうか。
3.1.1 難易度：Difficulty 6,7
りーるる さんの記事によると、
解法の入口が見つけにくく、積分に関する十分な経験や知識が必要となる問題です。計算も、ある程度複雑になってくるかもしれません。主にテクニカルな変形が目立ち始める難易度です。
とのこと。しかし、積分に関する知識はもうたくさん身についているでしょう。ここからは短時間で思い出し、使えるかどうかです。積分を見かけたら、手法の手立てだけでも考えてみましょう。
この難易度では、一つの置換積分では上手くいきません。しかし、闇雲に試していては時間を浪費します。コンテストは何度もいいますが、時間との勝負です。一つの置換積分を順番ごとに思いつくのではなく、式の意味と構造を捉えて、複数の置換積分の順番を組み立てていくことが重要です。
3.1.2 重要定理など
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=\int_0^\frac{\pi}2\log(\cos x)dx=-\frac{\pi}2\ln 2$$
$a>0$のとき、$\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt ax$と置く。
$c>0$のとき、$\sqrt{ax^2+bx+c}=tx+\sqrt c$と置く。
$ax^2+bx+c=0$が２つの異なる実数解$\alpha,\beta$を持つとき、$\sqrt{a(x-\alpha )(x-\beta)}=t(x-\alpha)$と置く。
無理関数が被積分関数内にあるとき、三角関数置換で置き換えられる可能性が高い。
$$\sqrt{(x-\alpha)(\beta -x)}→x=\alpha \cos^2 \theta +\beta \sin^2 \theta$$
$$\sqrt{\frac{a±x}{a∓x}}→x=a \cos 2\theta$$
etc...
$f(x),g(x)$は$[a,b]$区間で、$f(a+b-x)=f(x),g(a+b-x)=\dfrac1{g(x)}$満たすとき、以下が成立する。
$$\int_a^b\frac{dx}{f(x)(1+g(x))}=\frac12\int_a^b\dfrac{dx}{f(x)}$$
また、$f(x),g(x)$は$[a,b]$区間で、$f\left(\dfrac{ab}x\right)=f(x),g\left(\dfrac{ab}x\right)=\dfrac1{g(x)}$満たすとき、以下が成立する。
$$\int_a^b\frac{dx}{xf(x)(1+g(x))}=\frac12\int_a^b\frac{dx}{xf(x)}$$
明らかにおかしい数字(2026とか)や、$\sin^n x,\cos^n x$があるときは積分漸化式を実行してみる。
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n xdx=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}2 \quad (even) \\
\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!} \quad (odd)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
基本的に半角の公式を用いて次数下げをする。
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$
$$\sin^4 x+\cos^4x =(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-\frac12 \sin^2 2x$$
3.2 演習：Violot
IBC総まとめです。Difficultyを高めに設定しましたが、いけると思います。タイマーを自分で用意して練習です！
Difficulty範囲 4 ~ 7
IBC 19 C
Difficulty 4 : writer by ri_ruru07
$$ \int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^6}dx$$
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Hint:
$1+x^6$は因数分解できます。
IBC 13 D
Difficulty 4 : writer by ri_ruru07
$$ \int_0^{\frac{\sqrt{e}}2}\frac{xe^{-xe^{-x^{\cdots}}}}{x(1+xe^{-xe^{-x^{\cdots}}})}dx$$
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Hint:
自己相似性関数です。さらに、定義した関数を微分してみよう。
IBC 14 D
Difficulty 4 : writer by Crystal
$$ \int_0^\frac{\pi}2 \cos 6x \cos^5 xdx$$
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Hint:
積分漸化式を実行しましょう。加法定理を用いて式を整理します。
IBC 12 C
Difficulty 5 : writer by sakumonjp
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2\cos x}{(1+\sin x)^2}dx$$
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Hint:
そのまま地道に計算です。広義積分に注意しましょう。
IBC 13 E
Difficulty 5 : writer by Fried_potato_umauma
$$ \int_{-1}^1 \frac{\arcsin x\arccos x}{x}dx$$
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Hint:
難問です。逆三角関数の公式を用いて被積分関数を簡単にしましょう。
IBC 6 C
Difficulty 5 : writer by dragoemon
$$ \int_0^1 (7x-\lfloor 7x\rfloor)(11x-\lfloor 11x\rfloor)dx$$
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Hint:
難問です。77等分に分割して各区間での被積分関数を簡単にしましょう。
IBC 3 E
Difficulty 6 : writer by ende
$$ \int_1^2 \frac{\sqrt[4]{x-1}}{x^2}dx$$
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Hint:
四乗根の部分を全体置換しましょう。
IFHS 2 E
Difficulty 6 : writer by TyLite
$$ \int_0^{2\pi}\frac{\cos 2026x}{\sqrt5-2\cos x}dx$$
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Hint:
明らかに積分漸化式です。3項間漸化式が出来上がります。
IBC 15 F
Difficulty 6 : writer by Crystal
$$ \int_0^{\infty}\frac{dx}{1+\sinh^3 x}$$
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Hint:
部分分数分解をしてそれぞれの項を積分します。
IBCE 1 A
Difficulty 7 : writer by sakumonjp
$$ \int_0^2 (\sqrt{x^3+1}+\sqrt[3]{x^2+2x})dx$$
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Hint:
逆関数を調べると...？
IBC 13 F
Difficulty 7 : writer by Crownether
$$ \int_0^2 \frac{dx}{(4x+1)(1+e^{\frac{4x^2+2x-2}{4x+1}})}$$
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Hint:
公式4が使えます。$e^\text{何らか}$の何らかを調べましょう。
IFHS 7 E
Difficulty 7 : writer by ri_ruru07
$$ \int_0^1 \frac{x^7(1-x)^7}{(x^2-x+\frac12)^2}dx$$
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Hint:
7乗が嫌なので、すぐに計算できる形にしたいですね。
IBC 18 F
Difficulty 6 : writer by Cyan998244353
$$ \int_1^{\infty}\frac{\lfloor x \rfloor}{x(x+1)(x+2)}dx$$
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Hint:
難問です。分母の部分の原始関数を求め無限級数を考える必要があります。
IBC 20 F
Difficulty 7 : writer by ri_ruru07
$$ \int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\arctan {\left(\frac{5x-10x^3+x^5}{1-10x^2+5x^4}\right)}dx$$
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Hint:
場合分けをすれば一瞬で終わります。
IBCE 3 A
Difficulty 7 : writer by ryo
$$ \int_0^1 \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\ln ({\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}})dx$$
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Hint:
$\arcsin x$を処理して、部分積分を実行します。地道な計算です。
追記
IBCE多くなってしまい申し訳ないです。
3.3 次回予告
次回は、上級編(Magenta,Scarlet)です！いよいよ大詰め、IBCEの勉強法についてお伝えします！成長の実感が分かりにくくなるレベル帯ですが、精進すればモーマンタイ！戦える日が近くなったね
