位相体は連結であるか完全不連結である

$0$の連結成分を$C$とおきます。
$C=\{0\}$のとき、各$a \in K$ の連結成分は$\{a\}$なので完全不連結です。
$C$が$0$以外の元$x$を含むとき、任意の$0 \neq y \in K$に対して、$f: K \rightarrow K, z \mapsto zx^{-1}y$は連続なので、$f(C)$は連結です。$0 \in f(C)$なので連結成分の定義から$f(C) \subset C$が成り立ちます。さらに$xx^{-1}y = y \in f(C)$なので$y \in C$を得ます。$y$の任意性から$C=K$が従い、$K$が連結であると分かります。