京大数学科院試過去問解答例(2019基礎04)
ここでは京大数学教室・RIMSの修士課程の院試の2019基礎04の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
関数$f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$を以下の条件
- $f$は周期$1$、つまり任意の$x\in[1,\infty)$に対して$f(x+1)=f(x)$
- $f$は$(1,\infty)$に於いて$C^1$級
を満たす関数とする。このとき以下の条件は同値であることを示しなさい。
- $f$は零点を持たない。つまり$f(x)=0$なる$x\in[1,\infty)$は存在しない。
- 広義積分
$$ \int_1^\infty\frac{dx}{x^{1+f(x)^2}} $$
は有限の値に収束する。
初めに(2)から(1)の対偶を示す。$f$が零点を持つとし、$[1,2)$に於ける零点のひとつを$z$と置く。まず充分小さい$\delta>0$に対して
$$
\begin{split}
\int_1^\infty \frac{dx}{x^{1+f(x)^2}}&=\sum_{n=1}^\infty\int_n^{n+1}\frac{dx}{x^{1+f(x)^2}}dx\\
&\geq \sum_{n=1}^\infty\int_1^{2}\frac{dx}{(n+1)^{1+f(x)^2}}\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\int_1^{2}\frac{dx}{(n+1)^{f(x)^2}}\\
&\geq\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\int_z^{z+\delta}\frac{dx}{(n+1)^{f(x)^2}}\\
\end{split}
$$
である。ここで$\varepsilon>0$を任意にとり、$\delta>0$を、任意の$x\in[z,z+\delta]$に対して
$$
f(x)^2\leq \varepsilon(x-z)
$$
であるようにとる。このとき
$$
\int_z^{z+\delta}\frac{dx}{(n+1)^{f(x)^2}}\geq\int_0^{\delta}\frac{dx}{(n+1)^{\varepsilon x}}\geq\frac{\delta}{(n+1)^{\varepsilon\delta}}
$$
である。よって
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac{\delta}{(n+1)^{1+\varepsilon\delta}}\geq\int_{\frac{1}{2}}^\infty\frac{\delta}{x^{1+\varepsilon\delta}}dx=\frac{1}{\varepsilon2^{\varepsilon\delta}}
$$
であるから、以上をまとめると、任意の$\varepsilon>0$及び充分小さい$\delta>0$に対して
$$
\int_1^\infty \frac{1}{x^{1+f(x)^2}}dx\geq \frac{1}{\varepsilon2^{\varepsilon\delta}}
$$
が成り立つ。ここで任意の自然数$n$に対して$\varepsilon<\frac{1}{n}$であるように取り、$\delta$を$\delta<1$を満たすように取ると、任意の自然数$n$に対して
$$
\int_1^\infty \frac{1}{x^{1+f(x)^2}}dx\geq \frac{1}{\varepsilon2^{\varepsilon\delta}}\geq\frac{n}{\sqrt[n]{2}}\geq\frac{n}{2}
$$
が成り立つことが分かる。特に左辺の積分は発散することがわかり、以上で(2)の否定が示せた。
次に(1)から(2)を示す。$|f(x)|$の最小値を$s$と置く。(1)より$s>0$である。このとき
$$
\int_1^\infty\frac{dx}{x^{1+f(x)^2}}\leq\int_1^\infty\frac{dx}{x^{1+s^2}}=\frac{1}{s^2}
$$
であるから、(2)が従う。
