多分ワ〇ップに載ってるタイプの解析接続
#1
メリークリスマスイーブイ！
フーリエ変換をを用いないゼータ関数の関数等式の導出を発見したからおみせしよう！
数学的な面白さなんて無いと思ってたかをくくってたら見事に予定狂ったので今なお工事中
$$\qquad \zeta(s) := \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}$$
これが$\Re (s) > 1$で収束している
積分表示しようぜ！
$$\qquad \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx \qquad \Re (s)>1$$
一応証明しとくべな？
$\mathrm{Re}(s)>1$とする。
ガンマ関数の定義から
\begin{align} \qquad \Gamma(s)&=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\\ &=\int_{0}^{\infty}(nt)^{s-1}e^{-nx}ndt &(x\to nt)\\ &=n^s\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-nx}dt \end{align}
よって、
$$\qquad \frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int^{\infty}_{0}x^{s-1} e^{-nx}dx$$
この$n$を$1$から$N$まで総和を取ると、
\begin{align} \qquad \sum^{N}_{n=1}\frac{1}{n^s} &=\sum^{N}_{n=1}\frac{1}{\Gamma(s)}\int^{\infty}_{0}x^{s-1} e^{-nx}dx\\ &=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^{\infty}_{0}x^{s-1} \sum^{N}_{n=1}e^{-nx}dx \end{align}
$N\to \infty$の極限を取って、
\begin{align} \qquad \zeta(s)&= \lim_{N \to \infty}\frac{1}{\Gamma(s)}\int^{\infty}_{0}x^{s-1} \frac{1-e^{-Nx}}{e^{x}-1}dx\\ &= \frac{1}{\Gamma(s)}\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx - \frac{1}{\Gamma(s)}\lim_{N \to \infty}\int^{\infty}_{0}x^{s-1} \frac{e^{-Nx}}{e^{x}-1}dx \end{align}
最後の項の極限を不等式評価により求める。
三角不等式より、
\begin{align*} \qquad 0 \leqq\left|\int^{\infty}_{0}x^{s-1} \frac{e^{-Nx}}{e^{x}-1}dx\right| &\leqq\int^{\infty}_{0}\left|x^{s-1} \frac{e^{-Nx}}{e^{x}-1}\right|dx \\ &\leqq\int^{\infty}_{0}\left|x^{s-1}\right| \frac{e^{-Nx}}{e^{x}-1}dx \end{align*}
ここで、$|x^{s-1}|=|x^{\mathrm{Re}(s-1)}|\cdot|x^{\mathrm{Im}(s-1)}|=|x^{\mathrm{Re}(s-1)}|$であり、
$\displaystyle e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\cdots$より、$e^{x}-1\geq x$であるから、
\begin{align*} \qquad \int^{\infty}_{0}\left|x^{s-1}\right| \frac{e^{-Nx}}{e^{x}-1}dx&\leqq\int^{\infty}_{0}x^{\mathrm{Re}(s-1)} \frac{e^{-Nx}}{x}dx \\ &=\int^{\infty}_{0}x^{\mathrm{Re}(s)-2} e^{-Nx}dx \\ &= \frac{\Gamma(\mathrm{Re}(s)-1)}{N^{\mathrm{Re}(s)-1}} \to 0 \qquad N \to \infty \end{align*}
よって、
$$\int^{\infty}_{0}x^{s-1} \frac{e^{-Nx}}{e^{x}-1}dx\to 0\qquad (N\to \infty)$$
である。よって、元の積分は、
\begin{align} {\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx} \end{align}
であると分かった。
魔改造したいってワケっすよ。まずはこいつ
$$\qquad 2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s) = \int^{\infty}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx$$
証明いくぜぇ...(ねっとり)
$\quad\mathrm{Re}(s) >1$とする
\begin{align*} \Gamma(s)\zeta(s) &= \int^{\infty}_{0}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}dt \qquad \mathrm{公式}1 \\ &= \int^{\infty}_{0}\frac{(2u)^{s-1}}{e^{2u}-1}2du \qquad t \to 2u \\ &= 2^{s}\int^{\infty}_{0}u^{s-1}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{e^{u}-1} - \frac{1}{e^{u}+1}\right)du \\ &= 2^{s-1}\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s-1}}{e^{u}-1}du - 2^{s-1}\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s-1}}{e^{u}+1}du \\ &= 2^{s-1}\Gamma(s)\zeta(s) - 2^{s-1}\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s-1}}{e^{u}+1}du \\ (1-2^{1-s})\Gamma(s)\zeta(s)&=\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s-1}}{e^{u}+1}du \\ &=\left[\frac{1}{s} \frac{u^{s}}{e^{u}+1} \right]^{\infty}_{0} + \frac{1}{s}\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s} e^u}{(e^{u}+1)^2}du \\ (1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s)&=\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s}}{e^{u}+e^{-u}+2}du \\ &=\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s}}{(e^{u/2}+e^{-u/2})^2}du \\ &=\frac{1}{4}\int^{\infty}_{0}\frac{u^{s}}{\cosh^2(u/2)}du \\ &=\frac{2^{s+1}}{4}\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx \qquad u \to 2x \\ 2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s)&=\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx \end{align*}
もうこの時点で右は$s>-1$で収束してたりするんだけどな。
ここで私に電流走る。分母が偶関数であるため実部を正と負のどちらに飛ばしても積分は収束する...!
そしてこの被積分関数は$s>0$において極が虚軸に等間隔に並んでいることが分かる。
よってこれを長方形の周回積分で極を囲むことを考えるに至るノダ。
具体的には
$R>0,0<\delta<\pi$として左回りに
$-R+i\delta$,$R+i\delta$,$R+i\pi$,$-R+i\pi$
を左回りに線分でつなぎ囲む。
ただしこの被積分関数には分岐切断があるので主枝であることを強調するため実軸から$\delta$浮かせている。
対応する積分値を$I_1,I_2,I_3,I_4$とする。
留数定理より
$$I_1+I_2+I_3+I_4=2\pi i \underset{x=\frac{i\pi}{2}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{x^s}{\cosh^2 x}\right) $$
が成り立ってるはずだ。
極限を取るにあたりまず$I_2,I_4$をみよう。こいつらは目論見通り$0$になってくれる。
計画通り...!
\begin{align*} 0 \leqq |I_2| &= \left|\int^{R+i\pi}_{R+i\delta}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx\right| \\ &= \left|i\int^{\pi}_{\delta}\frac{(ix+R)^{s}}{\cosh^2 (ix+R)}dx\right| \\ &\leqq \int^{\pi}_{\delta}\left|\frac{(ix+R)^{s}}{\cosh^2 (ix+R)}\right|dx \\ &=\int^{\pi}_{\delta}\frac{(|ix+R|)^{s}}{\sinh^2 R \sin^2 x + \cosh^2 R \cos^2 x}dx \\ &=2\int^{\pi}_{\delta}\frac{(x^2 + R^2)^{s/2}}{\cosh 2R + \cos 2x}dx \\ &\leqq 2\int^{\pi}_{\delta}\frac{(\pi^2 + R^2)^{s/2}}{\cosh 2R}dx \\ &=2(\pi - \delta)\frac{(\pi^2 + R^2)^{s/2}}{\cosh 2R} \to 0 \qquad R\to \infty \end{align*}
なんと$\delta$どころか$s$にすら依存せず収束する。
$I_4$も同様にして証明できる。
あとは$I_{1}$と$I_{3}$だ。$\delta\to +0$を適用して計算してしまう。
$$I_{1}=(1+e^{i\pi s})\int^{R}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx$$
$$I_{3}=\int^{R}_{-R}\frac{(x+i\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx$$
ちょっとした計算
経路$\cosh$が偶関数であることを考えれば一発で分かる。
\begin{align*} I_{1} &= \int^{R+\delta i}_{-R+\delta i}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx \\ &=\int^{R}_{-R}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx \quad \delta\to 0 \\ &=(1+e^{i\pi s})\int^{R}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx \\ I_{3} &= -\int^{R+i\pi}_{-R+i\pi}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx \\ &=\int^{R}_{-R}\frac{(x+i\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx \end{align*}
留数の計算は次回更新！
残骸だけ残しとくよ♡
\begin{align*} &=2\pi i \underset{x=\frac{i\pi}{2}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{x^s}{\cosh^2 x}\right) \\ &= -2\pi i s\left(\frac{i\pi}{2}\right)^{s-1} \qquad \delta \to +0 \\ (1+e^{i\pi s})\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+i\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx &= -2\pi i s\left(\frac{i\pi}{2}\right)^{s-1} \\ (1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s) + 2\pi i s\left(\frac{i\pi}{2}\right)^{s-1} &= \int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+i\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx \qquad R \to \infty \end{align*}
$$(1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s) + 2\pi i s\left(\frac{i\pi}{2}\right)^{s-1} = \int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+i\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx$$
で、終わるはずだった...
\begin{align*}
\int^{R+\delta i}_{-R+\delta i}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx+\int^{R+Ni\pi}_{R+\delta i}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{R+Ni\pi}_{-R+Ni\pi}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{-R+Ni\pi}_{-R+\delta i}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx&=2\pi i \sum_{n=1}^{N} \underset{x=i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{Res}}\left(\frac{x^s}{\cosh^2 x}\right)
\\
(1+e^{i\pi s})\int^{R}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx+\int^{R+Ni\pi}_{R}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{R}_{-R}\frac{(x+Ni\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{-R+Ni\pi}_{-R}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx&=-2\pi i \sum_{n=1}^{N} \underset{x=0}{\mathrm{Res}}\left(\frac{\left(x+i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^s}{\sinh^2 x}\right) \qquad \delta \to +0
\\
(1+e^{i\pi s})\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+Ni\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx &=-2\pi i \sum_{n=1}^{N} \underset{x=0}{\mathrm{Res}}\left( \left( \left(i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^{s} + sx\left(i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^{s-1}+O(x^2) \right) \left(\frac{1}{x^2} + O(1)\right) \right)
\\
(1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s) + 2\pi i s \sum_{n=1}^{N} \left(i\pi\left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^{s-1} &= \int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+Ni\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx \qquad R \to \infty
\\
(1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s) + 2(i\pi)^{s} s \sum_{n=0}^{\infty} \left(n+\frac{1}{2}\right)^{s-1} &= 0 \qquad s<0, N \to \infty
\\
(1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s)\zeta(s) + 2(i\pi)^{s} (2^{1-s}-1)\zeta(1-s) &= 0
\\
(1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s)\zeta(s)&=
2\pi^{s} e^{\frac{i\pi}{2}s} (1-2^{1-s})\zeta(1-s)
\\
\frac{e^{-\frac{i\pi}{2}s} +e^{\frac{i\pi}{2}s}}{2} 2^{1-s}\Gamma(s)\zeta(s)&=
\pi^{s} \zeta(1-s)
\\
\zeta(s)&=\frac{2^{s-1} \pi^{s}}{\cos\left(\frac{\pi}{2}s\right)\Gamma(s)}\zeta(1-s)
\\
&=2^s \pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi}{2}s\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
\end{align*}
関数等式じゃねえか完成度高ぇなオイ！
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