多分ワ〇ップに載ってるタイプの解析接続

メリークリスマスイーブイ！
フーリエ変換をを用いないゼータ関数の関数等式の導出を発見したからおみせしよう！
数学的な面白さなんて無いと思ってたかをくくってたら見事に予定狂ったので今なお工事中

これが$\Re (s) > 1$で収束している
積分表示しようぜ！

魔改造したいってワケっすよ。まずはこいつ

もうこの時点で右は$s>-1$で収束してたりするんだけどな。
ここで私に電流走る。分母が偶関数であるため実部を正と負のどちらに飛ばしても積分は収束する...!
そしてこの被積分関数は$s>0$において極が虚軸に等間隔に並んでいることが分かる。
よってこれを長方形の周回積分で極を囲むことを考えるに至るノダ。
具体的には

$R>0,0<\delta<\pi$として左回りに
$-R+i\delta$,$R+i\delta$,$R+i\pi$,$-R+i\pi$
を左回りに線分でつなぎ囲む。

経路

ただしこの被積分関数には分岐切断があるので主枝であることを強調するため実軸から$\delta$浮かせている。
対応する積分値を$I_1,I_2,I_3,I_4$とする。
留数定理より
$$I_1+I_2+I_3+I_4=2\pi i \underset{x=\frac{i\pi}{2}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{x^s}{\cosh^2 x}\right) $$
が成り立ってるはずだ。
極限を取るにあたりまず$I_2,I_4$をみよう。こいつらは目論見通り$0$になってくれる。

あとは$I_{1}$と$I_{3}$だ。$\delta\to +0$を適用して計算してしまう。

最後に留数を計算するぞ

さて、ということは
$$I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = \underset{x=i\frac{\pi}{2}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{x^s}{\cosh^2 x}\right)$$
は

$$(1+e^{i\pi s})\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+i\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx = -2\pi i s\left(\frac{i\pi}{2}\right)^{s-1}$$

ということは疑いようのない事実となる。公式2を使えば以下を得る

　右辺を見ると、経路上に極を持たない積分になっている。また、分母が指数関数なため、比較判定より容易にすべての複素数$s$で収束することが分かる。
左辺は、定義域を拡張したい$\zeta$と、いくつかの極を除いて全平面で定義されている$\Gamma$しかない。(なんなら$1+e^{i\pi s}$の根と打ち消しているため極も問題にならない)
　これはつまり、ゼータ関数を複素平面全体に対して拡張できたことに他ならない。祝。

で、終わるはずだった...
\begin{align*} \int^{R+\delta i}_{-R+\delta i}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx+\int^{R+Ni\pi}_{R+\delta i}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{R+Ni\pi}_{-R+Ni\pi}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{-R+Ni\pi}_{-R+\delta i}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx&=2\pi i \sum_{n=1}^{N} \underset{x=i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{Res}}\left(\frac{x^s}{\cosh^2 x}\right) \\ (1+e^{i\pi s})\int^{R}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx+\int^{R+Ni\pi}_{R}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{R}_{-R}\frac{(x+Ni\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{-R+Ni\pi}_{-R}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx&=-2\pi i \sum_{n=1}^{N} \underset{x=0}{\mathrm{Res}}\left(\frac{\left(x+i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^s}{\sinh^2 x}\right) \qquad \delta \to +0 \\ (1+e^{i\pi s})\int^{\infty}_{0}\frac{x^{s}}{\cosh^2 x}dx-\int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+Ni\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx &=-2\pi i \sum_{n=1}^{N} \underset{x=0}{\mathrm{Res}}\left( \left( \left(i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^{s} + sx\left(i\pi \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^{s-1}+O(x^2) \right) \left(\frac{1}{x^2} + O(1)\right) \right) \\ (1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s) + 2\pi i s \sum_{n=1}^{N} \left(i\pi\left(n-\frac{1}{2}\right)\right)^{s-1} &= \int^{\infty}_{-\infty}\frac{(x+Ni\pi)^{s}}{\cosh^2 x}dx \qquad R \to \infty \\ (1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s+1)\zeta(s) + 2(i\pi)^{s} s \sum_{n=0}^{\infty} \left(n+\frac{1}{2}\right)^{s-1} &= 0 \qquad s<0, N \to \infty \\ (1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s)\zeta(s) + 2(i\pi)^{s} (2^{1-s}-1)\zeta(1-s) &= 0 \\ (1+e^{i\pi s})2^{1-s}(1-2^{1-s})\Gamma(s)\zeta(s)&= 2\pi^{s} e^{\frac{i\pi}{2}s} (1-2^{1-s})\zeta(1-s) \\ \frac{e^{-\frac{i\pi}{2}s} +e^{\frac{i\pi}{2}s}}{2} 2^{1-s}\Gamma(s)\zeta(s)&= \pi^{s} \zeta(1-s) \\ \zeta(s)&=\frac{2^{s-1} \pi^{s}}{\cos\left(\frac{\pi}{2}s\right)\Gamma(s)}\zeta(1-s) \\ &=2^s \pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi}{2}s\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s) \end{align*}

関数等式じゃねえか完成度高ぇなオイ！

　そう、なんとこの方法、留数定理の経路のとり方を虚軸方向に伸ばしただけで関数等式まで出るのである！
　明らかに野放しにしてはいけない話だと思うのだがどうだろうか。]