圏
差核の定義より
差余核の定義より
まず前半について.
合成
よって核の定義より
次に,
このとき合成
すると
このとき
また
以上より
後半について.
従って前半の主張より
よって
全射(epi)ならば
余核は
全射(epi)
合成
合成
合成
合成
よって
後半の主張は
従って
任意の
つまり,
これもまた後半の主張は
以下
まず,
よって示された.
アーベル圏
(命題2.11により逆も成り立つ.)
補題2.73より
命題2.58(2)より
つまり,同型
アーベル圏
まず差核について.
これの普遍性から,
さらに,
補題2.73より
つまり,ある同型射
従って
このとき,
そこで,
である.
この
まず,
集合の同型
により,
従って,
よって示された.
次に差余核について.
この二個目の系の消し方どなたか教えてください…
このとき
まず
つまり,
さらにこのとき,
以下
つまり,
さらに,
より,
このとき
射
さらに,
すると
よって
このとき
射
この二つの補題は
従って
この
さらに,
従って命題2.74より
群の圏
まず前半の主張について.
命題2.58(2)より
補題2.82より
従って
後半は
アーベル圏を
アーベル圏における図式
それぞれの形の図式に対して,
が完全列
は完全列
アーベル圏における可換図式
に対して,これを拡張した可換図式
が自然に誘導される.
図式
命題2.58
図式
補題2.73より
図式
従って
アーベル圏における図式
仮定より
また
また,
このとき
従って