Gasperの積公式から得られるCayley-Orr型定理2
前の記事
でGasperの積公式から以下のCayley-Orr型の定理が従うことを示した.
\begin{align}
&\frac 1{(1+t)^a}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac a2,\frac{a+1}2\right)_n}{(2b,2c)_n}\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac a2,\frac{a+1}2-b,\frac{a+1}2-c,\frac 12\right)_n}{n!\left(\frac{a+1}2,b+\frac 12,c+\frac 12\right)_n}t^{2n}
\end{align}
今回もGasperの積公式から, この類似となる以下の公式を示したいと思う.
非負整数$N$に対し,
\begin{align}
&\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,-N)_n}{(2b,2c,d+e-a-N)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}\\
&=\F{11}{10}{\frac a2,1+\frac a4,\frac d2,\frac{d+1}2,\frac e2,\frac{e+1}2,-\frac{N}2,\frac{1-N}2,\frac 12,\frac{1+a}2-b,\frac{1+a}2-c}{\frac a4,\frac{1+a-d}2,\frac{2+a-d}2,\frac{1+a-e}2,\frac{2+a-e}2,\frac{1+a+N}2,\frac{2+a+N}2,\frac{1+a}2,b+\frac 12,c+\frac 12}{1}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
と同様に, Gasperの積公式とWatsonの和公式を用いて
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-N,a+N)_n}{(2b,2c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}\\
&=\begin{cases}
0 && n:\mathrm{odd}\\
\displaystyle \frac{\left(\frac 12,\frac 12,\frac{a+1}2-b,\frac{a+1}2-c\right)_k}{\left(\frac{a+1}2,\frac{a+1}2,b+\frac 12,c+\frac 12\right)_k}&&n=2k
\end{cases}
\end{align}
を得る. $N\mapsto m$として, 両辺に
\begin{align}
\frac{2m+a}a\frac{(a,d,e,-N)_m}{m!(1+a-d,1+a-e,1+a+N)_m}
\end{align}
を掛けて足し合わせてDougallの${}_5F_4$和公式を用いると,
\begin{align}
&\F{11}{10}{\frac a2,1+\frac a4,\frac d2,\frac{d+1}2,\frac e2,\frac{e+1}2,-\frac{N}2,\frac{1-N}2,\frac 12,\frac{1+a}2-b,\frac{1+a}2-c}{\frac a4,\frac{1+a-d}2,\frac{2+a-d}2,\frac{1+a-e}2,\frac{2+a-e}2,\frac{1+a+N}2,\frac{2+a+N}2,\frac{1+a}2,b+\frac 12,c+\frac 12}{1}\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{2m+a}a\frac{(a,d,e,-N)_m}{m!(1+a-d,1+a-e,1+a+N)_m}\sum_{0\leq n}\frac{(-m,a+m)_n}{(2b,2c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}\\
&=\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,-N)_n}{(2b,2c,d+e-a-N)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
定理1において, $N\to\infty$とすると以下の系を得る.
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e)_n}{(2b,2c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}\\ &=\F98{\frac a2,1+\frac a4,\frac d2,\frac{d+1}2,\frac e2,\frac{e+1}2,\frac 12,\frac{1+a}2-b,\frac{1+a}2-c}{\frac a4,\frac{1+a-d}2,\frac{2+a-d}2,\frac{1+a-e}2,\frac{2+a-e}2,\frac{1+a}2,b+\frac 12,c+\frac 12}{1} \end{align}
さらに, 系1において, $e=2c$とすると以下の系を得る.
\begin{align*} &\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-2c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-2c-d)}\sum_{0\leq n}\frac{(d)_n}{(2b)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}\\ &=\F76{\frac a2,1+\frac a4,\frac d2,\frac{d+1}2,c,\frac 12,\frac{1+a}2-b}{\frac a4,\frac{1+a-d}2,\frac{2+a-d}2,1+\frac{a}2-c,\frac{1+a}2,b+\frac 12}{1} \end{align*}
また, 系1において$a=d+e$とすると以下の系を得る.
\begin{align} &\frac{\Gamma(d+1)\Gamma(e+1)}{\Gamma(d+e+1)}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e)_n}{(2b,2c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{d+e+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{d+e+1}2\right)_{n-k}}\\ &=\F76{\frac{d+e}2,1+\frac{d+e}4,\frac d2,\frac e2,\frac 12,\frac{d+e+1}2-b,\frac{d+e+1}2-c}{\frac{d+e}4,1+\frac{d}2,1+\frac{e}2,\frac{d+e+1}2,b+\frac 12,c+\frac 12}{1} \end{align}
$\beta_n:=\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}$として,
前の記事
で得た等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\beta_n^2\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2&=\frac 4{\pi}\sum_{0\leq n}\frac{\beta_n^4}{4n+1}
\end{align}
は上の系3において, $b=c=d=e=\frac 12$とすることによっても得ることができる.
