Gasperの積公式から得られるCayley-Orr型定理
前の記事
でGasperによる公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-N,a+N)_n}{(d,f)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,e)_k}{k!(c)_k}\frac{(d-b,f-e)_{n-k}}{(n-k)!(1+a-c)_{n-k}}\\
&=\frac{(-1)^N(c)_N}{(1+a-c)_N}\F32{-N,a+N,b}{c,d}1\F32{-N,a+N,e}{c,f}1
\end{align}
を示した. この両辺に$\frac{(-1)^N(a)_N}{N!}t^N$を掛けて$0\leq N$で足し合わせると以下を得る.
\begin{align} &\frac 1{(1+t)^a}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac a2,\frac{a+1}2\right)_n}{(d,f)_n}\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(b,e)_k}{k!(c)_k}\frac{(d-b,f-e)_{n-k}}{(n-k)!(1+a-c)_{n-k}}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,c)_n}{n!(1+a-c)_n}t^n\F32{-n,a+n,b}{c,d}1\F32{-n,a+n,e}{c,f}1 \end{align}
Watsonの和公式
より,
\begin{align}
\F32{-n,a+n,b}{\frac{a+1}2,2b}1&=\begin{dcases}
0\qquad n:\mathrm{odd}\\
\frac{\left(\frac 12,\frac{a+1}2-b\right)_k}{\left(\frac{a+1}2,b+\frac 12\right)_k}\qquad n=2k
\end{dcases}
\end{align}
であるからこれを用いると以下の系を得る.
\begin{align} &\frac 1{(1+t)^a}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac a2,\frac{a+1}2\right)_n}{(2b,2c)_n}\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!\left(\frac{a+1}2\right)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!\left(\frac{a+1}2\right)_{n-k}}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac a2,\frac{a+1}2-b,\frac{a+1}2-c,\frac 12\right)_n}{n!\left(\frac{a+1}2,b+\frac 12,c+\frac 12\right)_n}t^{2n} \end{align}
応用
系1において, $a=1, b=c=\frac 12$とすると,
\begin{align}
\frac 1{1+t}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{\left(\frac 12\right)_k^2}{k!^2}\frac{\left(\frac 12\right)_{n-k}^2}{(n-k)!^2}&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}t^{2n}
\end{align}
を得る. これは$\beta_n:=\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}$と書けば,
\begin{align}
\frac 1{1+t}\sum_{0\leq n}\beta_n\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2&=\sum_{0\leq n}\beta_n^4t^{2n}
\end{align}
と簡潔に書くことができる.
前の記事
で
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\beta_n^4}{4n+1}&=\frac{\pi^3}{6\Gamma\left(\frac 34\right)^8}
\end{align}
を示した. これらを応用して,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\beta_n^2\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2&=\frac 1{\pi}\int_0^1\frac{\sum_{0\leq n}\beta_nt^n\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2}{\sqrt{t(1-t)}}\,dt\\
&=\frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\sum_{0\leq n}\beta_n\left(\frac{4u}{(1+u)^2}\right)^n\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2}{\sqrt u(1+u)}\,du\qquad t=\frac{4u}{(1+u)^2}\\
&=\frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\sum_{0\leq n}\beta_n^4u^{2n}}{\sqrt u}\,du\\
&=\frac{4}{\pi}\sum_{0\leq n}\frac{\beta_n^4}{4n+1}\\
&=\frac{2\pi^2}{3\Gamma\left(\frac 34\right)^4}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\beta_n^2\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2&=\frac{2\pi^2}{3\Gamma\left(\frac 34\right)^8}
\end{align}
を得ることができた. Dixonの和公式から得られる式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\beta_n^3=\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac 34\right)^4}
\end{align}
を用いると, これは
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\beta_n^2\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2&=\frac 23\left(\sum_{0\leq n}\beta_n^3\right)^2
\end{align}
と書き換えられる. 一方, Gasperの公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-N,a+N)_n}{(d,f)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,e)_k}{k!(c)_k}\frac{(d-b,f-e)_{n-k}}{(n-k)!(1+a-c)_{n-k}}\\
&=\frac{(-1)^N(c)_N}{(1+a-c)_N}\F32{-N,N+a,b}{c,d}1\F32{-N,a+N,e}{c,f}1
\end{align}
において$a=c=d=f=1,b=e=\frac 12$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-N,1+N)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2\\
&=\F32{-N,N+1,\frac 12}{1,1}{1}^2
\end{align}
となる($N$が奇数の場合は$0$なので, $(-1)^N$倍を省ける). $p$を奇素数として, $N=\frac{p-1}2$として, $\mathrm{mod}\,p^2$すると,
\begin{align}
\left(\frac{1-p}2,\frac{1+p}2\right)_n=\left(\frac 12\right)_n^2\pmod{p^2}
\end{align}
であることから,
\begin{align}
\sum_{n=0}^{p-1}\beta_n^2\sum_{k=0}^n\beta_k^2\beta_{n-k}^2&=\left(\sum_{n=0}^{p-1}\beta_n^3\right)^2\pmod{p^2}
\end{align}
を得る. これは先ほどの式の有限類似と言えるが, この場合には$\frac 23$が掛かっていないという違いがあるのは興味深い.
